Usando as regras de derivação apropriadas, calcule cada uma das derivadas solicitadas.
(c) A primeira derivada de h(x)=\frac{4^{\cos (x)} \operatorname{sen}\left(x^{4}-3 x\right)}{\ln (\ln (x))};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(x)=\frac{4^{\cos(x)}\,\sin\bigl(x^{4}-3x\bigr)}{\ln\bigl(\ln(x)\bigr)}.
Para isso vamos precisar das seguintes regras de diferenciação:
– regra do quociente: se h(x)=\frac{u(x)}{v(x)} então
h'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.
– regra do produto: \bigl(u\cdot w\bigr)'=u'\,w+u\,w'.
– regra da função composta (chain rule), em particular para a^{f(x)} e para \ln(\ln(x)).

Passo 2

Definimos
u(x)=4^{\cos(x)}\;\sin\bigl(x^{4}-3x\bigr), \quad v(x)=\ln\bigl(\ln(x)\bigr).
Primeiro, u'(x) pelo produto de
A(x)=4^{\cos(x)},\quad B(x)=\sin\bigl(x^{4}-3x\bigr).
  1. Para A(x)=4^{\cos(x)} escrevemos A(x)=e^{\cos(x)\ln(4)}. Então
A'(x)=4^{\cos(x)}\;\bigl(\cos(x)\ln(4)\bigr)' =4^{\cos(x)}\;(-\sin(x))\,\ln(4) =-\ln(4)\,\sin(x)\,4^{\cos(x)}.
  1. Para B(x)=\sin\bigl(x^{4}-3x\bigr) usamos cadeia: se C(t)=\sin(t) e t(x)=x^{4}-3x,
B'(x)=\cos\bigl(x^{4}-3x\bigr)\;(4x^{3}-3).
Logo, pelo produto,
u'(x) =A'(x)\,B(x)+A(x)\,B'(x) =4^{\cos(x)}\Bigl[-\ln(4)\,\sin(x)\,\sin\bigl(x^{4}-3x\bigr) +(4x^{3}-3)\,\cos\bigl(x^{4}-3x\bigr)\Bigr].

Passo 3

Agora v(x)=\ln\bigl(\ln(x)\bigr). Aplicando cadeia: se D(t)=\ln(t) e t(x)=\ln(x),
v'(x)=\frac{1}{\ln(x)}\cdot\frac{1}{x} =\frac{1}{x\,\ln(x)}.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente \bigl(h(x)=u/v\bigr),
h'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.
Substituindo u,u',v,v':
h'(x) =\frac{% 4^{\cos(x)}\Bigl[-\ln(4)\,\sin(x)\,\sin(\,x^{4}-3x\,)+(4x^{3}-3)\cos(\,x^{4}-3x\,)\Bigr]\,\ln(\ln(x)) -\;4^{\cos(x)}\,\sin(\,x^{4}-3x\,)\,\frac{1}{x\,\ln(x)} }{\bigl[\ln(\ln(x))\bigr]^{2}}.
Podemos ainda fatorar 4^{\cos(x)} no numerador:
h'(x) =\frac{4^{\cos(x)}}{\bigl[\ln(\ln(x))\bigr]^{2}} \Bigl\{ \ln(\ln(x))\Bigl[(4x^{3}-3)\cos(x^{4}-3x) -\ln(4)\,\sin(x)\,\sin(x^{4}-3x)\Bigr] -\frac{\sin(x^{4}-3x)}{x\,\ln(x)} \Bigr\}.

Resposta

h'(x) =\frac{4^{\cos(x)}}{\bigl[\ln(\ln(x))\bigr]^{2}} \Bigl\{ \ln(\ln(x))\Bigl[(4x^{3}-3)\cos(x^{4}-3x) -\ln(4)\,\sin(x)\,\sin(x^{4}-3x)\Bigr] -\frac{\sin(x^{4}-3x)}{x\,\ln(x)} \Bigr\}.

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