Encontre o raio e intervalo de convergência:
Passo 1
O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências centrada em
O conteúdo principal aqui é o teste da raiz (ou de Cauchy) para séries de potências, seguido da verificação nos extremos.
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz à termo geral
Calculamos
Passo 3
Pelo teste da raiz, a série converge se
Logo o raio de convergência é
Passo 4
O intervalo aberto de convergência é
Agora precisamos testar
e
.
Passo 5
Para
temos
e a série vira
Como
converge (
-série com
), esta converge absolutamente.
Passo 6
Para
temos
e a série vira
que também converge pelo mesmo critério de
-série.
Passo 7
Como ambos os extremos convergem, o intervalo de convergência inclui
e
.
Resposta
Raio de convergência:
.
Intervalo de convergência: .
Intervalo de convergência: