Encontre o raio e intervalo de convergência:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{k}}{k^{2} 5^{k}}

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências centrada em x=1
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{k}}{k^{2}5^{k}}.
O conteúdo principal aqui é o teste da raiz (ou de Cauchy) para séries de potências, seguido da verificação nos extremos.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz à termo geral
a_{k} = \frac{(x-1)^{k}}{k^{2}5^{k}}.
Calculamos
\lim_{k\to\infty}\bigl|a_{k}\bigr|^{1/k} = \lim_{k\to\infty}\frac{|x-1|}{5}\,\bigl(k^{-2}\bigr)^{1/k} = \frac{|x-1|}{5}\times 1 = \frac{|x-1|}{5}.

Passo 3

Pelo teste da raiz, a série converge se
\frac{|x-1|}{5}<1 \quad\Longrightarrow\quad |x-1|<5.
Logo o raio de convergência é
R = 5.

Passo 4

O intervalo aberto de convergência é
1 - 5 < x < 1 + 5 \quad\Longrightarrow\quad -4 < x < 6.
Agora precisamos testar x=-4 e x=6.

Passo 5

Para x=-4 temos x-1=-5 e a série vira
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-5)^{k}}{k^{2}5^{k}} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k^{2}}.
Como \sum1/k^{2} converge ( p-série com p=2>1), esta converge absolutamente.

Passo 6

Para x=6 temos x-1=5 e a série vira
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{5^{k}}{k^{2}5^{k}} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}},
que também converge pelo mesmo critério de p-série.

Passo 7

Como ambos os extremos convergem, o intervalo de convergência inclui -4 e 6.

Resposta

Raio de convergência: R=5.
Intervalo de convergência: \bigl[-4,\,6\bigr].

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