6- (2,0 pontos) Encontre a série de Maclaurin que é a solução da integral \int_{0}^{1 / 2} \frac{\ln (1+x)}{x} d x \mathrm{CP}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a série de Maclaurin que representa a integral
\int_{0}^{1/2}\frac{\ln(1+x)}{x}\,dx.
O conteúdo que vamos usar é a expansão em séries de potências de \ln(1+x) para |x|<1 e a troca de soma por integral, válida por convergência uniforme em [0,1/2].

Passo 2

Começamos lembrando a série de Maclaurin de \ln(1+x):
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}, \qquad |x|<1.

Passo 3

Dividindo por x, obtemos para x\neq0
\frac{\ln(1+x)}{x} =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{n-1}}{n}.
Essa série converge uniformemente em [0,1/2], permitindo integrar termo a termo.

Passo 4

Integramos cada termo de 0 a 1/2:
\int_{0}^{1/2}x^{n-1}\,dx =\left[\frac{x^n}{n}\right]_{0}^{1/2} =\frac{(1/2)^n}{n}.
Logo,
\int_{0}^{1/2}\frac{\ln(1+x)}{x}\,dx =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\,\frac{(1/2)^n}{n} =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(1/2)^n}{n^2}.

Resposta

\int_{0}^{1/2}\frac{\ln(1+x)}{x}\,dx =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(1/2)^n}{n^2}.

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