Mostre se a série converge ou diverge \rightarrow teste, desenvol. conclusão.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k+1)^{k}}\

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^{k}}.
Como o expoente depende de k, o teste da raiz é atraente: se
L=\lim_{k\to\infty}\bigl|a_k\bigr|^{1/k}<1,
então a série converge absolutamente.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz ao termo geral
a_k = \frac{1}{(2k+1)^{k}}.
Calculamos
\bigl|a_k\bigr|^{1/k} =\biggl(\frac{1}{(2k+1)^{k}}\biggr)^{1/k} =\frac{1}{2k+1}.
Agora tomamos o limite quando k\to\infty:
L=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{2k+1}=0.

Passo 3

Como L=0<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência simples.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^{k}} converge (absolutamente).

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