Mostre se a série converge ou diverge
teste, desenvol. conclusão.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. O conteúdo é de séries numéricas e vamos aplicar o teste da integral: associamos à série a função
e analisamos a integral imprópria correspondente.
Passo 2
Definimos a função
para
. Observamos que
é positiva, contínua e estritamente decrescente em
, pois tanto
quanto
crescem e estão no denominador. Logo, as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas e podemos comparar a série com
Passo 3
Calculamos a integral imprópria:
fazendo a substituição
,
, obtemos
Quando
,
, então
Como a integral diverge, pelo teste da integral a série também diverge.
Passo 4
Pelo teste da integral, se
então
diverge.
Resposta
A série diverge.