Mostre se a série converge ou diverge \rightarrow teste, desenvol. conclusão.
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k \ln k}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k\,\ln k}
converge ou diverge. O conteúdo é de séries numéricas e vamos aplicar o teste da integral: associamos à série a função f(x)=1/(x\ln x) e analisamos a integral imprópria correspondente.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=\frac{1}{x\,\ln x}
para x\ge2. Observamos que f(x) é positiva, contínua e estritamente decrescente em [2,\infty), pois tanto x quanto \ln x crescem e estão no denominador. Logo, as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas e podemos comparar a série com
\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x\,\ln x}.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria:
\int_{2}^{N} \frac{dx}{x\,\ln x}
fazendo a substituição u=\ln x, du=dx/x, obtemos
\int_{\ln 2}^{\ln N} \frac{du}{u} =\bigl[\ln u\bigr]_{\ln 2}^{\ln N} =\ln(\ln N)-\ln(\ln 2).
Quando N\to\infty, \ln(\ln N)\to\infty, então
\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x\,\ln x} = \lim_{N\to\infty}\bigl(\ln(\ln N)-\ln(\ln 2)\bigr)=\infty.
Como a integral diverge, pelo teste da integral a série também diverge.

Passo 4

Pelo teste da integral, se
\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x\,\ln x} = \infty,
então
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k\,\ln k}
diverge.

Resposta

A série diverge.

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