Encontre o raio e intervalo de convergência:
sumk=1^infty (x-3)^2 k+1k! 10

Passo 1

A série dada é sumk=1^infty10(x-3)^2k+1k!. O conteúdo aqui é séries de potências centradas em 3 e vamos precisar usar o teste da razão para séries de potências.

Passo 2

Vamos identificar o termo geral da série como ak = 10(x-3)^2k+1k! e aplicar o teste da razão, ou seja, estudar limktoinfty|ak+1ak|.

Passo 3

Calculando a razão:
limktoinfty|ak+1ak| =limktoinfty|10,(x-3)^2(k+1)+1/(k+1)!10,(x-3)^2k+1/k!| =limktoinfty|(x-3)^2k+3(k+1)!cdotk!(x-3)^2k+1| =limktoinfty|(x-3)^2k+1| =0

Passo 4

Como o limite da razão é zero, que é menor que 1 para todo x, concluímos que a série convergente para qualquer valor real de x.

Resposta

Raio de convergência: R=infty. Intervalo de convergência: ( -infty,infty).

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