Encontre os raios de convergência das séries:
sumn=1^+infty (-1)^n(3.2) cdot(6.5) ldots(3 n) cdot(3 n-1) cdot x^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência de uma série de potências
sumn=1^inftyan x^n,
onde
an = (-1)^n(3cdot2),(6cdot5),dotsm,(3ncdot(3n-1))
O conteúdo é o teste da razão para séries de potências — vamos calcular o limite da razão dos termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, calculamos a razão dos coeficientes sem o x:
an+1an = (-1)^n+1 (3cdot2)dotsm(3(n+1)cdot(3(n+1)-1)) ;/; (-1)^n (3cdot2)dotsm(3ncdot(3n-1)) = -1(3n+3)(3n+2)
No módulo isso vira
|an+1an| =1(3n+3)(3n+2)

Passo 3

Agora incluímos o fator x no teste da razão:
limntoinfty |an+1x^n+1an x^n| = limntoinfty |x|(3n+3)(3n+2) =0 forall,xinR
Esse limite é sempre menor que 1, logo a série converge absolutamente para qualquer x.

Resposta

R = infty

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