Estude a existência de soluções das equações abaixo na forma y=sumn=0^+infty an cdot x^n
y^prime+y^prime1-2 x+e^x cdot y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + y'1-2x + e^x,y = 0
e pede para estudar a existência de solução na forma
y = sumn=0^+infty an,x^n
O conteúdo é teoria de pontos ordinários de equações diferenciais lineares, em que verificamos se as funções que multiplicam y' e y são analíticas em x=0. Se for ponto ordinário, existe solução única em série de potências centrada em 0.

Passo 2

Primeiro identifiquemos possíveis pontos singulares. Há um denominador 1-2x, que se anula em x=tfrac12. Logo x=tfrac12 é ponto singular da equação original. Em x=0 temos 1-2x=1neq0, e e^x é inteira, logo x=0 é ponto ordinário.

Passo 3

Para ver com clareza as funções que multiplicam y' e y, agrupamos os termos em y':
y'l(1 + tfrac11-2xr) + e^x,y = 0
Definimos
P(x)=1 + 11-2x, Q(x)=e^x
Em x=0 ambas P(x) e Q(x) são analíticas, pois P(x) tem série de Taylor em torno de zero e e^x é inteira.

Passo 4

Pelo teorema de existência e unicidade para equações lineares em um ponto ordinário, existe solução única em série de potências
y=sumn=0^infty an,x^n
passando por um valor inicial a0=y(0) arbitrário. A recursão para os coeficientes an vem impondo que a série satisfaça a equação, mas não há obstrução à existência.

Passo 5

O raio de convergência dessa solução em série é pelo menos a distância do centro x=0 até o ponto singular mais próximo, que é x=tfrac12. Logo a série converge em |x|<tfrac12.

Resposta

Existe, para cada escolha de a0=y(0), uma única solução analítica em torno de x=0 na forma
y=sumn=0^infty an,x^n,
válida para lvert xrvert<tfrac12.

Exercícios relacionados