Estude a existência de soluções das equações abaixo na forma
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
e pede para estudar a existência de solução na forma
O conteúdo é teoria de pontos ordinários de equações diferenciais lineares, em que verificamos se as funções que multiplicam
e
são analíticas em
. Se for ponto ordinário, existe solução única em série de potências centrada em
.
Passo 2
Primeiro identifiquemos possíveis pontos singulares. Há um denominador
, que se anula em
. Logo
é ponto singular da equação original. Em
temos
, e
é inteira, logo
é ponto ordinário.
Passo 3
Para ver com clareza as funções que multiplicam
e
, agrupamos os termos em
:
Definimos
Em
ambas
e
são analíticas, pois
tem série de Taylor em torno de zero e
é inteira.
Passo 4
Pelo teorema de existência e unicidade para equações lineares em um ponto ordinário, existe solução única em série de potências
passando por um valor inicial
arbitrário. A recursão para os coeficientes
vem impondo que a série satisfaça a equação, mas não há obstrução à existência.
Passo 5
O raio de convergência dessa solução em série é pelo menos a distância do centro
até o ponto singular mais próximo, que é
. Logo a série converge em
.
Resposta
Existe, para cada escolha de
, uma única solução analítica em torno de
na forma
válida para
.