Determine uma aproximação da raiz da equação x+\log (x)=0 pelos métodos:
de Newton-Raphson, partindo de x_{o}=0.6.

Passo 1

O enunciado quer aproximar a raiz da equação
x + \ln(x) = 0
pelo método de Newton-Raphson, partindo de x_{0}=0{,}6.
O conteúdo envolvido é o método iterativo de Newton, que precisa de f(x) e sua derivada f'(x).

Passo 2

Definimos
f(x) = x + \ln(x)
e calculamos sua derivada
f'(x) = 1 + \frac{1}{x}.
No Newton-Raphson, a iteração é
x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.

Passo 3

Escrevendo a fórmula de iteração explicitamente:
x_{n+1} = x_{n} - \frac{x_{n} + \ln(x_{n})}{1 + \frac{1}{x_{n}}}.
Vamos aplicar essa fórmula para n=0,1,2,\dots até convergir.

Passo 4

Primeira iteração n=0:
f(x_{0}) = 0{,}6 + \ln(0{,}6)\approx 0{,}6 - 0{,}510826 = 0{,}089174,
f'(x_{0}) = 1 + \frac{1}{0{,}6} = 2{,}666667.
Então
x_{1} = 0{,}6 - \frac{0{,}089174}{2{,}666667} \approx 0{,}566557.

Passo 5

Segunda iteração n=1:
f(x_{1}) = 0{,}566557 + \ln(0{,}566557)\approx -0{,}001443,
f'(x_{1}) = 1 + \frac{1}{0{,}566557}\approx 2{,}764842.
Logo
x_{2} = 0{,}566557 - \frac{-0{,}001443}{2{,}764842} \approx 0{,}567079.

Passo 6

Terceira iteração n=2:
f(x_{2}) = 0{,}567079 + \ln(0{,}567079)\approx -0{,}000175,
f'(x_{2}) = 1 + \frac{1}{0{,}567079}\approx 2{,}763531.
Então
x_{3} = 0{,}567079 - \frac{-0{,}000175}{2{,}763531} \approx 0{,}567142.

Passo 7

Na quarta iteração n=3 o ajuste já fica da ordem de 10^{-7}, ou seja, estamos convergindo para
x \approx 0{,}567143
com precisão de seis casas decimais.

Resposta

A raiz aproximada pelo método de Newton-Raphson, a partir de x_{0}=0{,}6, é
x \approx 0{,}567143.

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