Encontre uma raiz aproximada com erro de
para funções abaixo, pelo método do ponto fixo, se possível:
em
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar uma raiz aproximada de
no intervalo com erro
, usando o método do ponto-fixo — mas “se possível”.
Aqui a parada é: a gente precisa reescrever como
no intervalo
Aqui a parada é: a gente precisa reescrever
depois verificar duas coisas:
-
leva o intervalo em si mesmo (isto é, ). -
em todo o intervalo (critérios do Teorema do Ponto-Fixo).
Passo 2
Primeira tentativa:
Então o nosso
seria
Vamos checar se essa escolha satisfaz os dois requisitos.
Passo 3
(a) Mapeamento no intervalo
- .
- .
Ou seja,tá ok.
(b) Critério de contração
No intervalo
,
Portanto
NÃO fica abaixo de 1 em todo o trecho, o que quebra a garantia de convergência do método do ponto-fixo.
Passo 4
Vamos testar outra reescrita clássica:
(a) Imagem em
:
O intervalo imagem é
, que NÃO está contido em
.
Logo também falha em manter o ponto-fixo no mesmo intervalo.
Logo também falha em manter o ponto-fixo no mesmo intervalo.
Resposta
Não é possível aplicar o método do ponto-fixo com garantia de convergência (erro de
) para em
, pois nenhuma escolha de
satisfaz simultaneamente
e
em todo o intervalo.