Encontre uma raiz aproximada com erro de 10^-3 para funções abaixo, pelo método do ponto fixo, se possível: P(x)=x-2 sen(x) em [-2,-1]

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar uma raiz aproximada de

no intervalo x = g(x), com erro , usando o método do ponto-fixo — mas “se possível”.
Aqui a parada é: a gente precisa reescrever como
depois verificar duas coisas:
  1. leva o intervalo em si mesmo (isto é, ).
  2. em todo o intervalo (critérios do Teorema do Ponto-Fixo).

Passo 2

Primeira tentativa:
Então o nosso x - 2sen(x) = 0 Longrightarrow x = 2sen(x) seria
Vamos checar se essa escolha satisfaz os dois requisitos.

Passo 3

(a) Mapeamento no intervalo
  • .
  • .
    Ou seja, g'(x)=2cos(x) tá ok.
(b) Critério de contração
maxxin[-2,-1]|g'(x)| = 2max(|cos(-2)|,|cos(-1)|) approx 2cdot0,5403=1,0806 > 1
No intervalo ,
Portanto NÃO fica abaixo de 1 em todo o trecho, o que quebra a garantia de convergência do método do ponto-fixo.

Passo 4

Vamos testar outra reescrita clássica:
x = arcsin!l(tfrac x2r), g(x)=arcsin!l(tfrac x2r)
(a) Imagem em g(-2)=arcsin(-1)=-tfracpi2approx-1,5708, g(-1)=arcsin(-0,5)approx-0,5236 :
O intervalo imagem é , que NÃO está contido em .
Logo também falha em manter o ponto-fixo no mesmo intervalo.

Resposta

Não é possível aplicar o método do ponto-fixo com garantia de convergência (erro de ) para em , pois nenhuma escolha de satisfaz simultaneamente e em todo o intervalo.

Exercícios relacionados