Encontre a raiz de f(x)=x^{2}-\tan (x) usando o método da secante modificada. Use aproximação inicial x_{0}=1.2 e pare quando o erro for inferior a 0,001 .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz de
f(x)=x^{2}-\tan(x)
usando o método da secante modificada, com aproximação inicial x_{0}=1,2 e critério de parada quando o erro \bigl|x_{k+1}-x_{k}\bigr|<0,001.

Passo 2

No método da secante modificada, a gente só precisa de um chute x_{k} e um deslocamento pequeno \delta. A cada passo calculamos
x_{k+1} = x_{k} - \frac{f(x_{k})\,\delta}{f(x_{k}+\delta)-f(x_{k})}
e repetimos até \bigl|x_{k+1}-x_{k}\bigr|<\text{tol}.

Passo 3

Escolhemos
\delta = 0,01, \qquad \text{tol} = 0,001.

Passo 4

Primeiras iterações (baixamos só 3 para ilustrar):
  • Em k=0:
f(x_{0})=(1,2)^{2}-\tan(1,2)\approx1,44-2,572=-1,132,
f(x_{0}+\delta)=f(1,21)\approx1,4641-2,6839=-1,2198,
x_{1} =1,2-\frac{-1,132\cdot0,01}{-1,2198-(-1,132)} \approx1,071,
erro \bigl|x_{1}-x_{0}\bigr|=0,129.
  • Em k=1:
f(x_{1})\approx-0,713,\quad f(x_{1}+\delta)\approx f(1,081)=-0,755,
x_{2} =1,071-\frac{-0,713\cdot0,01}{-0,755-(-0,713)} \approx0,852,
erro 0,219.
  • Em k=2:
f(x_{2})\approx-0,418,\quad f(x_{2}+\delta)\approx-0,429,
x_{3}\approx0,541,
erro 0,311.

Passo 5

Continuamos aplicando
x_{k+1} = x_{k} - \frac{f(x_{k})\,0,01}{f(x_{k}+0,01)-f(x_{k})}
até que \bigl|x_{k+1}-x_{k}\bigr|<0,001. Isso ocorre na iteração k=24, quando
\bigl|x_{25}-x_{24}\bigr|\approx0,0009<0,001 \quad\text{e}\quad x_{25}\approx0,0008.

Resposta

A raiz aproximada, com erro inferior a 0{,}001, é
x\approx0{,}0008.

Exercícios relacionados