Resolva numericamente a equação f(x)=\sqrt{x}-\cos (x) \operatorname{com} o método da secante. Utilize aproximações iniciais x_{0}=0.5 \mathrm{e} x_{1}=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar numericamente a raiz da função
f(x) = \sqrt{x} - \cos(x)
usando o método da secante, com aproximações iniciais \,x_0 = 0{,}5 e \,x_1 = 1.
O conteúdo principal aqui é a aplicação do método da secante, cuja fórmula de iteração é
x_{n+1} \;=\; x_n \;-\; f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.

Passo 2

Primeiro avaliamos f(x) nos pontos iniciais:
f(x_0) = f(0{,}5) = \sqrt{0{,}5} \;-\;\cos(0{,}5) \approx 0{,}707107 \;-\; 0{,}877583 = -0{,}170476,
f(x_1) = f(1) = \sqrt{1} \;-\;\cos(1) = 1 \;-\; 0{,}540302 = 0{,}459698.

Passo 3

Aplicamos a fórmula da secante para obter x_2:
x_2 = 1 - 0{,}459698\;\frac{1 - 0{,}5}{0{,}459698 - (-0{,}170476)} = 1 - 0{,}459698\;\frac{0{,}5}{0{,}630174} \approx 0{,}63521.
Em seguida,
f(x_2) = f(0{,}63521) = \sqrt{0{,}63521} - \cos(0{,}63521) \approx 0{,}797004 - 0{,}804533 = -0{,}007529.

Passo 4

Segunda iteração (para x_3):
x_3 = x_2 - f(x_2)\,\frac{x_2 - x_1}{f(x_2) - f(x_1)} = 0{,}63521 - (-0{,}007529)\;\frac{0{,}63521 - 1}{-0{,}007529 - 0{,}459698} \approx 0{,}64108.
E
f(x_3) = f(0{,}64108) \approx \sqrt{0{,}64108} - \cos(0{,}64108) = 0{,}800675 - 0{,}801450 = -0{,}000775.

Passo 5

Terceira iteração (para x_4):
x_4 = x_3 - f(x_3)\,\frac{x_3 - x_2}{f(x_3) - f(x_2)} = 0{,}64108 - (-0{,}000775)\;\frac{0{,}64108 - 0{,}63521}{-0{,}000775 - (-0{,}007529)} \approx 0{,}64175.
E
f(x_4) = f(0{,}64175) \approx \sqrt{0{,}64175} - \cos(0{,}64175) = 0{,}801095 - 0{,}801095 \approx 0.
O critério de parada \lvert x_4 - x_3\rvert \approx 0{,}00067 já está abaixo de 10^{-3}, indicando boa convergência.

Resposta

A raiz aproximada obtida pelo método da secante é
\boxed{x \approx 0{,}6418.}

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