Use o método da bisseção para encontrar uma raiz de f(x)= x^{3}-x-2 no intervalo [1,2] com precisão de 10^{-4}. Apresente o número de iterações necessário.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método da bisseção a fim de encontrar uma raiz de
f(x)=x^{3}-x-2
no intervalo [1,2] com precisão 10^{-4}. O conteúdo envolvido é o método da bisseção, que requer verificar mudança de sinal em extremos, estimar o número de iterações pelo tamanho do intervalo e executar as iterações até que a metade do comprimento do intervalo seja menor que a tolerância.

Passo 2

Primeiro conferimos os valores de f nas extremidades:
f(1)=1^{3}-1-2=-2,
f(2)=2^{3}-2-2=4.
Como f(1)\cdot f(2)=-2\cdot4<0, há pelo menos uma raiz em [1,2], e podemos aplicar a bisseção.

Passo 3

O método da bisseção reduz o comprimento do intervalo inicial [a,b] de modo que após n iterações ele vale \frac{b-a}{2^{n}}. Queremos
\frac{2-1}{2^{n}}\le10^{-4},
ou seja
2^{n}\ge10^{4}.
Tomando logaritmo na base 2,
n\ge\log_{2}(10^{4})=\frac{\ln(10^{4})}{\ln2}\approx13{,}2877,
logo precisamos de n=14 iterações para garantir o erro abaixo de 10^{-4}.

Passo 4

Executando as 14 iterações do método da bisseção (cada vez calculando o ponto médio, avaliando f e escolhendo o subintervalo onde o sinal muda), obtemos como aproximação após a 14ª iteração
c_{14}\approx1,5210571289.
Nesse ponto, o tamanho do intervalo restante é \frac{1}{2^{14}}\approx6{,}1\times10^{-5}<10^{-4}, cumprindo o critério de parada.

Resposta

A raiz aproximada é x\approx1,5211 e o número de iterações necessárias foi 14.

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