Exercício 1. Resolva as equações diferenciais abaixo, determinando a solução geral a partir do método dos coeficientes indeterminados.
  • a) y^prime prime-2 y^prime=e^t cos (t).
  • b) y^prime prime+4 y=t^2 sin (2 t).
  • c) y^prime prime+4 y^prime+4 y=sin (2 t).
  • d) y^prime prime+3 y^prime+2 y=e^-t.
  • e) y^prime prime+4 y=(t+1)^2.
  • f) y^prime prime-2 y^prime+2 y=5 t e^t cos (t).
  • g) y^prime prime-2 y^prime-3 y=3 e^2 t.
  • h) y^prime prime-y^prime-2 y=-2 t+4 t^2.
  • i) y^prime prime+y^prime-6 y=12 e^3 t+12 e^-2 t.
  • j) y^prime prime+2 y^prime=3+4 sin (2 t).
  • k) y^prime prime+y^prime=3 sin (2 t)+t cos (2 t).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial y'' - 2y' = e^t cos t usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é útil para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares quando o lado direito da equação é uma função que a gente já conhece, tipo exponenciais, senos, cossenos, ou combinações delas. Vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (chamada de solução complementar) mais uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: y'' - 2y' = 0 . Essa é a parte sem o termo e^t cos t . Para resolver, montamos a equação característica substituindo y'' por r^2 e y' por r :
r^2 - 2r = 0
Isso nos dá:
r(r - 2) = 0
Então, as raízes são r = 0 e r = 2 .

Passo 3

Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução complementar yc :
yc = C1 e^0t + C2 e^2t = C1 + C2 e^2t
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa y'' - 2y' = e^t cos t . Como o termo do lado direito é e^t cos t , que é uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas, assumimos uma forma para yp com base nisso.
A forma geral para yp quando o lado direito é e^alpha t(A cos beta t + B sin beta t) é:
yp = e^alpha t(A cos beta t + B sin beta t)
No nosso caso, alpha = 1 e beta = 1 , então:
yp = e^t(A cos t + B sin t)

Passo 5

Vamos derivar yp para encontrar yp' e yp'' :
Primeira derivada:
yp' = e^t(A cos t + B sin t) + e^t(-A sin t + B cos t) = e^t[(A + B) cos t + (B - A) sin t]
Segunda derivada:
yp'' = e^t[(A + B) cos t + (B - A) sin t] + e^t[(-A - B) sin t + (B - A) cos t]
Simplificando:
yp'' = e^t[(A + B + B - A) cos t + (B - A - A - B) sin t] = e^t[2B cos t - 2A sin t]

Passo 6

Substituímos yp e suas derivadas na equação original y'' - 2y' = e^t cos t :
yp'' - 2yp' = e^t[2B cos t - 2A sin t] - 2e^t[(A + B) cos t + (B - A) sin t]
Simplificando:
= e^t[2B cos t - 2A sin t - 2A cos t - 2B sin t + 2A sin t - 2B cos t]
= e^t[(2B - 2A - 2B) cos t + (-2A - 2B + 2A) sin t]
= e^t[-2A cos t - 2B sin t]
Isso deve ser igual ao lado direito da equação original e^t cos t :
-2A cos t - 2B sin t = cos t

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para cos t :
-2A = 1 implies A = -12
Para sin t :
-2B = 0 implies B = 0

Passo 8

Com os valores de A e B encontrados, a solução particular yp fica:
yp = e^t(-12 cos t + 0 cdot sin t) = -12 e^t cos t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = yc + yp = C1 + C2 e^2t - 12 e^t cos t
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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