Exercício 1. Resolva as equações diferenciais abaixo, determinando a solução geral a partir do método dos coeficientes indeterminados.
- a)
.
- b)
.
- c)
.
- d)
.
- e)
.
- f)
.
- g)
.
- h)
.
- i)
.
- j)
.
- k)
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é útil para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares quando o lado direito da equação é uma função que a gente já conhece, tipo exponenciais, senos, cossenos, ou combinações delas. Vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (chamada de solução complementar) mais uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Essa é a parte sem o termo
. Para resolver, montamos a equação característica substituindo
por
e
por
:
Isso nos dá:
Então, as raízes são
e
.
Passo 3
Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução complementar
:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo do lado direito é
, que é uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas, assumimos uma forma para
com base nisso.
A forma geral para
quando o lado direito é
é:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 5
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 6
Substituímos
e suas derivadas na equação original
:
Simplificando:
Isso deve ser igual ao lado direito da equação original
:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Para
:
Passo 8
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular
fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.