Encontre as raízes dos polinômios de terceiro grau e escreva na forma fatorada:
x^3+4 x^2-3 x-2

Passo 1

O enunciado pede as raízes do polinômio
f(x)=x^3+4x^2-3x-2
e que a gente escreva f(x) na forma fatorada. O conteúdo envolvido aqui é fatoração de polinômios de grau três, usando o teste de raízes racionais, divisão sintética e, se aparecer um segundo grau, a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Pelo teste de raízes racionais, as únicas candidatas inteiras são divisores de -2, ou seja pm1 e pm2. Vamos testar x=1:
f(1)=1^3+4cdot1^2-3cdot1-2 = 1+4-3-2 = 0
Logo x=1 é raiz de f(x).

Passo 3

Para fatorar, dividimos f(x) por (x-1). Usando divisão sintética com 1:
coeficientes: ;14 -3 -2
;downarrow;1
;152 0
Isso nos dá o quociente
x^2+5x+2
e resto zero, confirmando a raiz x=1.

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática
x^2+5x+2=0
pela fórmula de Bhaskara:
x=-5pmraiz5^2-4cdot1cdot22cdot1 =-5pmraiz25-82 =-5pmraiz172

Passo 5

Assim as três raízes são
x1=1, x2=-5+raiz172, x3=-5-raiz172
Portanto, na forma fatorada sobre os reais:
f(x)=(x-1)l(x--5+raiz172r)l(x--5-raiz172r)

Resposta

x=1, x=-5+raiz172, x=-5-raiz172,
boxed,f(x)=(x-1)l(x-tfrac-5+raiz172r)l(x-tfrac-5-raiz172r),

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