Nos problemas 23-28, resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
(25.) x^2 d yd x=y-x y, y(-1)=-1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
x^2dydx=y - x,y, y(-1)=-1
e pede a solução geral por separação de variáveis e o maior intervalo I contendo -1 onde ela está definida.

Passo 2

Reescrevendo a equação:
x^2dydx=y(1-x) Longrightarrow dyy=1-xx^2,dx =l(x^-2-x^-1r),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral1y,dy =integrall(x^-2-x^-1r),dx =-1x-ln|x|+C
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ln|y|=-1x-ln|x|+C

Passo 4

Exponentiando e absorvendo constantes em K:
|y|=e^C,e^-1/x|x| Longrightarrow y=Ke^-1/xx

Passo 5

Impondo y(-1)=-1:
-1 =Ke^-1/(-1)-1 =-K,e Longrightarrow K=1e
Assim
y(x)=1e,x,e^-1/x =e^-1-1/xx

Passo 6

A solução falha em x=0. Como a condição inicial é em x=-1, o maior intervalo que contém -1 e não atinge 0 é (-infty,0).

Resposta

y(x)=e^-1-1/xx, I=(-infty,0)

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