Verifique se as séries convergem ou divergem:
sumn=1^infty cos (3 n)n^2+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty cos(3n)n^2+1
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é séries numéricas e vamos usar o Teste da Comparação para séries de termos não negativos, aproveitando o fato de que cos(3n) é limitado entre -1 e 1.

Passo 2

Note que para todo n vale
|cos(3n)| <= 1,
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|cos(3n)n^2+1| <= 1n^2+1
E sabemos que a série
sumn=1^infty 1n^2+1
é convergente, pois se compara a uma série do tipo p com p=2>1.

Passo 3

Pelo Teste da Comparação temos que, se
sumn=1^infty 1n^2+1
converge, então
sumn=1^infty |cos(3n)n^2+1|
também converge. Portanto a série original converge absolutamente, o que implica que ela converge.

Resposta

A série
sumn=1^infty cos(3n)n^2+1
converge absolutamente.

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