Encontre as raízes e o ponto de vértice da função f(x)=-2 x^{2}+10 x+5 e esboce o seu gráfico. Verifique se a função terá um ponto de máximo ou de mínimo e classifique-o

Passo 1

Estamos lidando com uma função quadrática
f(x) = -2x^{2} + 10x + 5
O objetivo é encontrar as raízes (pontos em que f(x)=0), o vértice (coordenação onde ocorre máximo ou mínimo) e classificar se é ponto de máximo ou mínimo. Para isso, vamos usar a fórmula de Bhaskara para as raízes e a fórmula do vértice para funções do tipo ax^{2}+bx+c.

Passo 2

Para achar as raízes, aplicamos a fórmula
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}
Aqui a=-2, b=10, c=5. Calculando o discriminante:
\Delta = b^{2} - 4ac = 10^{2} - 4\cdot(-2)\cdot5 = 100 + 40 = 140.
Portanto as raízes são
x = \frac{-10 \pm \sqrt{140}}{2\cdot(-2)} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{35}}{-4} = \frac{10 \mp 2\sqrt{35}}{4} = \frac{5 \mp \sqrt{35}}{2}.

Passo 3

Para encontrar o vértice, usamos
x_{v} = -\frac{b}{2a}
Logo
x_{v} = -\frac{10}{2\cdot(-2)} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}.
O valor de y_{v}=f(x_{v}) é
f\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr) = -2\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^{2} +10\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr) +5 = -2\cdot\tfrac{25}{4} + 25 +5 = -\tfrac{25}{2} +30 = \tfrac{-25 +60}{2} = \tfrac{35}{2}.
Portanto o vértice é \bigl(\tfrac{5}{2},\tfrac{35}{2}\bigr).

Passo 4

Como a=-2<0, a parábola abre para baixo, isto é, o vértice é ponto de máximo.

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • A parábola cruza o eixo x em
    \displaystyle x=\frac{5+\sqrt{35}}{2} e x=\frac{5-\sqrt{35}}{2}.
  • A parábola cruza o eixo y em f(0)=5.
  • O vértice está em \bigl(2,5;\;17,5\bigr), ponto mais alto da curva.
\begin{tikzpicture}[scale=0.7,>=stealth] \draw[->] (-2,0)--(6,0) node[right] {\(x\)}; \draw[->] (0,-2)--(0,20) node[above] {\(y\)}; \draw[domain=-1:5.5,smooth,variable=\x,blue] plot ({\x},{-2*\x*\x+10*\x+5}); \fill (2.5,17.5) circle (1.5pt) node[above right]{\(V\)}; \fill (0,5) circle (1.5pt) node[left]{\((0,5)\)}; \end{tikzpicture}

Resposta

As raízes são
x_{1} = \frac{5 + \sqrt{35}}{2},\quad x_{2} = \frac{5 - \sqrt{35}}{2}.
O vértice é \displaystyle \Bigl(\frac{5}{2},\frac{35}{2}\Bigr), e como a=-2<0 trata-se de um ponto de máximo.

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