Encontre as raízes quadradas de 7+24 i.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os complexos z tais que z^2 = 7 + 24i. O conteúdo aqui é raiz quadrada de número complexo; vamos usar módulo e uma fórmula padrão para extrair partes real e imaginária.

Passo 2

Primeiro calculamos o módulo de 7 + 24i.
|7 + 24i| = raiz7^2 + 24^2 = raiz49 + 576 = raiz625 = 25

Passo 3

Para um número complexo a + bi, as raízes quadradas x + yi podem ser obtidas por
x = raiz|z| + a2, y = sgn(b),raiz|z| - a2
Aqui a = 7, b = 24 e |z| = 25.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula:
Para a parte real:
x = raiz25 + 72 = raiz16 = 4
Para a parte imaginária:
y = sgn(24),raiz25 - 72 = +1 cdot raiz9 = 3

Passo 5

Concluímos que as duas raízes são dadas por pm(4 + 3i), ou seja, 4 + 3i e -4 - 3i.

Resposta

As raízes são 4 + 3i e -4 - 3i.

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