Encontre as raízes reais para cada função a seguir:
;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as raízes reais da função
Informações dadas:
- A função é um polinômio quadrático.
- Coeficientes:
, , .
Pergunta: determinar os valores de(números reais) que tornam .
Passo 2
Escolha do método: aqui existem dois caminhos simples e elementares que normalmente usamos em prova:
- Fatoração por fator comum (quando possível) e aplicação da propriedade do produto nulo.
- Fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) como verificação ou caso a fatoração não seja óbvia.
Como há um fator comum evidente (ambos os termos têm
), vou fatorar — é o método mais rápido e básico. Em seguida mostro Bhaskara como checagem.
Passo 3
Fatoração passo a passo: identificar e retirar o fator comum
.
Escrevendo:
Escrevendo:
Coloca-se
em evidência:
Explicando:
multiplicado por
reconstrói
. Agora temos a expressão como produto de dois fatores.
Passo 4
Aplicar a propriedade do produto nulo (teorema):
Se então
ou
.
Se
No nosso caso:
Resolvendo a segunda equação:
Portanto, as soluções obtidas por fatoração são
e
.
Passo 5
Verificação pela fórmula quadrática (Bhaskara) — útil para conferir e também ensinar a fórmula.
A fórmula para as raízes de é
A fórmula para as raízes de
onde
,
,
são os coeficientes do polinômio.
Aqui
,
,
. Calcular o discriminante:
Então
Isso dá duas soluções:
Combina com a fatoração — ótimo sinal de que está correto.
Passo 6
Verificação direta substituindo nas expressões:
- Para
:
- Para
:
Ambas anulam
, confirmando que são raízes reais.