Encontre as raízes reais para cada função a seguir:
f(x)=x^{2}+3 x;

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as raízes reais da função
f(x)=x^{2}+3x.
Informações dadas:
  • A função é um polinômio quadrático.
  • Coeficientes: a=1, b=3, c=0.
    Pergunta: determinar os valores de x (números reais) que tornam f(x)=0.

Passo 2

Escolha do método: aqui existem dois caminhos simples e elementares que normalmente usamos em prova:
  1. Fatoração por fator comum (quando possível) e aplicação da propriedade do produto nulo.
  2. Fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) como verificação ou caso a fatoração não seja óbvia.
Como há um fator comum evidente (ambos os termos têm x), vou fatorar — é o método mais rápido e básico. Em seguida mostro Bhaskara como checagem.

Passo 3

Fatoração passo a passo: identificar e retirar o fator comum x.
Escrevendo:
f(x)=x^{2}+3x.
Coloca-se x em evidência:
f(x)=x\,(x+3).
Explicando: x multiplicado por (x+3) reconstrói x^{2}+3x. Agora temos a expressão como produto de dois fatores.

Passo 4

Aplicar a propriedade do produto nulo (teorema):
Se A\cdot B=0 então A=0 ou B=0.
No nosso caso:
x\,(x+3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x+3=0.
Resolvendo a segunda equação:
x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3.
Portanto, as soluções obtidas por fatoração são x=0 e x=-3.

Passo 5

Verificação pela fórmula quadrática (Bhaskara) — útil para conferir e também ensinar a fórmula.
A fórmula para as raízes de ax^{2}+bx+c=0 é
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b, c são os coeficientes do polinômio.
Aqui a=1, b=3, c=0. Calcular o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=3^{2}-4\cdot1\cdot0=9.
Então
x=\frac{-3\pm\sqrt{9}}{2\cdot1}=\frac{-3\pm3}{2}.
Isso dá duas soluções:
x=\frac{-3+3}{2}=\frac{0}{2}=0, \qquad x=\frac{-3-3}{2}=\frac{-6}{2}=-3.
Combina com a fatoração — ótimo sinal de que está correto.

Passo 6

Verificação direta substituindo nas expressões:
  • Para x=0:
f(0)=0^{2}+3\cdot0=0+0=0.
  • Para x=-3:
f(-3)=(-3)^{2}+3\cdot(-3)=9-9=0.
Ambas anulam f(x), confirmando que são raízes reais.

Resposta

x=0
x=-3

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