(Função Afim) Analise a função
. Esboce o gráfico da função identificando os pontos de intersecção com os eixos
e
. Qual o domínio e a imagem desta função no conjunto dos números reais?
Passo 1
O enunciado dá a função afim
. As perguntas são:
- Esboçar o gráfico da função identificando os pontos de intersecção com os eixos
e . - Determinar o domínio e a imagem dessa função no conjunto dos números reais.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão algébrica da função é
. - Não há restrição explícita sobre
além de que estamos trabalhando em .
Passo 2
Entendendo a forma da função: uma função afim (reta) pode ser escrita na forma
onde
é a inclinação (coeficiente angular) e
é o coeficiente linear (intercepto com o eixo
). Aqui, comparando com
obtemos:
Significado prático:
-
indica que a reta desce: a cada aumento de em , diminui . -
indica que a reta corta o eixo em .
Passo 3
Encontrando o ponto de intersecção com o eixo
: para isso, colocamos
na função (o eixo
é a reta
):
Portanto o ponto de intersecção com o eixo
é
.
Passo 4
Encontrando o ponto de intersecção com o eixo
: o eixo
corresponde a
. Logo resolvemos
:
Isolando
:
Portanto o ponto de intersecção com o eixo
é
.
Passo 5
Sugestão prática para esboçar o gráfico (passos que você pode fazer na prova sem calculadora):
- Marque o ponto
no eixo . - Marque o ponto
no eixo . - Trace a reta que passa por esses dois pontos — como é uma reta, dois pontos determinam totalmente o gráfico.
Se quiser mais pontos para conferir a inclinação, calcule por exemploe ; eles estarão alinhados entre e .
Passo 6
Determinando o domínio: a expressão
está definida para qualquer número real
. Então o domínio é
Passo 7
Determinando a imagem (conjunto de valores que
atinge): para mostrar que a imagem é
basta ver que, dado qualquer valor real
, é possível encontrar
tal que
. Resolva
Isolando
:
Como para qualquer
essa expressão dá um
, a função assume todo valor real. Logo a imagem é
Observação: geometricamente, uma reta não horizontal tem imagem
; aqui
então a reta percorre todos os valores de
.
Resposta
Intersecção com o eixo
:
Intersecção com o eixo :
Domínio:
Imagem:
Intersecção com o eixo
Domínio:
Imagem: