(Função Afim) Analise a função g(x)=-3 x+12. Esboce o gráfico da função identificando os pontos de intersecção com os eixos x e y. Qual o domínio e a imagem desta função no conjunto dos números reais?

Passo 1

O enunciado dá a função afim g(x)=-3x+12. As perguntas são:
  • Esboçar o gráfico da função identificando os pontos de intersecção com os eixos x e y.
  • Determinar o domínio e a imagem dessa função no conjunto dos números reais.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão algébrica da função é g(x)=-3x+12.
  • Não há restrição explícita sobre x além de que estamos trabalhando em \mathbb{R}.

Passo 2

Entendendo a forma da função: uma função afim (reta) pode ser escrita na forma
g(x)=mx+b,
onde m é a inclinação (coeficiente angular) e b é o coeficiente linear (intercepto com o eixo y). Aqui, comparando com \,g(x)=-3x+12\,, obtemos:
m=-3,\qquad b=12.
Significado prático:
  • m=-3 indica que a reta desce: a cada aumento de 1 em x, g(x) diminui 3.
  • b=12 indica que a reta corta o eixo y em y=12.

Passo 3

Encontrando o ponto de intersecção com o eixo y: para isso, colocamos x=0 na função (o eixo y é a reta x=0):
g(0)=-3\cdot 0+12=12.
Portanto o ponto de intersecção com o eixo y é (0,12).

Passo 4

Encontrando o ponto de intersecção com o eixo x: o eixo x corresponde a y=0. Logo resolvemos g(x)=0:
-3x+12=0.
Isolando x:
-3x=-12\quad\Rightarrow\quad x=\frac{-12}{-3}=\frac{12}{3}=4.
Portanto o ponto de intersecção com o eixo x é (4,0).

Passo 5

Sugestão prática para esboçar o gráfico (passos que você pode fazer na prova sem calculadora):
  1. Marque o ponto (0,12) no eixo y.
  2. Marque o ponto (4,0) no eixo x.
  3. Trace a reta que passa por esses dois pontos — como é uma reta, dois pontos determinam totalmente o gráfico.
    Se quiser mais pontos para conferir a inclinação, calcule por exemplo g(1)=-3\cdot1+12=9 e g(2)=6; eles estarão alinhados entre (0,12) e (4,0).

Passo 6

Determinando o domínio: a expressão -3x+12 está definida para qualquer número real x. Então o domínio é
\text{Domínio}=\mathbb{R}.í

Passo 7

Determinando a imagem (conjunto de valores que g atinge): para mostrar que a imagem é \mathbb{R} basta ver que, dado qualquer valor real y, é possível encontrar x\in\mathbb{R} tal que g(x)=y. Resolva
y=-3x+12.
Isolando x:
-3x=y-12\quad\Rightarrow\quad x=\frac{12-y}{3}.
Como para qualquer y\in\mathbb{R} essa expressão dá um x\in\mathbb{R}, a função assume todo valor real. Logo a imagem é
\text{Imagem}=\mathbb{R}.
Observação: geometricamente, uma reta não horizontal tem imagem \mathbb{R}; aqui m\neq0 então a reta percorre todos os valores de y.

Resposta

Intersecção com o eixo y: (0,12)
Intersecção com o eixo x: (4,0)
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \mathbb{R}

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