Encontre as raízes reais para cada função a seguir:
f(x)=x^{2}-4 x+2;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes reais da função quadrática f(x)=x^{2}-4x+2.
Informações importantes fornecidas:
  • Coeficientes da função quadrática: a, b e c na forma padrão ax^{2}+bx+c.
  • Aqui, extraindo da expressão, temos: a=1,\qquad b=-4,\qquad c=2.

Passo 2

O que significa “encontrar as raízes”? Significa achar os valores de x que satisfazem f(x)=0, ou seja resolver a equação quadrática
x^{2}-4x+2=0.
Esses valores são também chamados de zeros ou soluções da equação.

Passo 3

Método escolhido e por quê. Uma forma direta e prática é usar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara), que dá as raízes de qualquer equação do 2.º grau ax^{2}+bx+c=0. Vou explicar a fórmula e o que cada símbolo significa:
  • A fórmula é
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta é o discriminante definido por
\Delta = b^{2}-4ac.
  • Interpretação: a, b, c são os coeficientes da equação; \Delta indica se as raízes são reais ( \Delta\ge0) ou complexas ( \Delta<0). Se \Delta>0, há duas raízes reais distintas; se \Delta=0, há uma raiz real dupla.

Passo 4

Calcular o discriminante usando os coeficientes que pegamos no Passo 1:
\Delta = b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot2.
Agora as contas passo a passo:
(-4)^{2}=16,
4\cdot1\cdot2=8,
\Delta=16-8=8.
Como \Delta=8>0, sabemos que existem duas raízes reais distintas.

Passo 5

Aplicar a fórmula quadrática. Substituindo a=1, b=-4 e \Delta=8 em
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
obtém-se
x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{8}}{2\cdot1}=\frac{4\pm\sqrt{8}}{2}.

Passo 6

Simplificar \sqrt{8}. Note que 8=4\cdot2, então \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}. Substituindo:
x=\frac{4\pm 2\sqrt{2}}{2}.
Dividindo cada termo do numerador por 2:
x=2\pm\sqrt{2}.

Passo 7

Interpretação numérica (intuição): aproximando \sqrt{2}\approx1,4142 temos
x_{1}=2-\sqrt{2}\approx 2-1,4142\approx 0,5858,
x_{2}=2+\sqrt{2}\approx 2+1,4142\approx 3,4142.
Isso confirma que as duas raízes são reais e diferentes.

Resposta

2-\sqrt{2}
2+\sqrt{2}

Exercícios relacionados