Encontre as raízes, o vértice e o corte no eixo y das parábolas; reescreva as expressões na forma fatorada e canônica; faça um esboço do gráfico.
f(x)=(x+5)(x-2)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=(x+5)(x-2)
que é uma parábola. Precisamos encontrar as raízes (zeros), o vértice, o ponto de corte com o eixo y, reescrever em forma fatorada (já dada) e canônica (forma de vértice) e, por fim, esboçar o gráfico. Vamos usar multiplicação de binômios, fórmula do vértice e completar quadrados.

Passo 2

Expandimos para obter a forma padrão ax^2+bx+c:
f(x) = (x+5)(x-2) = x^2 -2x +5x -10 = x^2 +3x -10

Passo 3

Das raízes em forma fatorada (x+5)(x-2)=0 vem
x=-5e x=2
O corte com o eixo y é f(0):
f(0)=0^2+3cdot0 -10 = -10,
logo o ponto é (0,-10).

Passo 4

O vértice (xv,yv) de f(x)=ax^2+bx+c tem
xv = -b2a = -32,
e
yv = fl(-tfrac32r) = l(-tfrac32r)^2 +3l(-tfrac32r)-10 = tfrac94 - tfrac92 -10 = -tfrac494
Portanto o vértice é l(-tfrac32,-tfrac494r).

Passo 5

Para a forma canônica, escrevemos
f(x)=a(x-xv)^2 + yv
com a=1, xv=-tfrac32 e yv=-tfrac494:
f(x) = l(x + tfrac32r)^2 - tfrac494

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Marque as raízes em (-5,0) e (2,0).
  • Marque o corte em (0,-10).
  • Marque o vértice em l(-tfrac32,-tfrac494r).
  • Trace uma parábola suave abrindo para cima, passando por esses pontos.

Resposta

Raízes: -5 e 2
Vértice: l(-tfrac32,-tfrac494r)
Corte no eixo y: (0,-10)
Forma fatorada: f(x)=(x+5)(x-2)
Forma canônica: f(x)=l(x+tfrac32r)^2 - tfrac494
Esboço: parábola com concavidade para cima, passando por (-5,0), (2,0), (0,-10) e vértice em l(-tfrac32,-tfrac494r).

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