Encontre as raízes, o vértice e o corte no eixo y das parábolas; reescreva as expressões na forma fatorada e canônica; faça um esboço do gráfico.
f(x)=-2(x-3)(x+3)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = -2(x-3)(x+3)
e pede:
1. As raízes (zeros) da parábola.
2. O vértice.
3. O corte no eixo y.
4. Reescrever em forma fatorada e em forma canônica (vértice).
5. Esboçar o gráfico.
Conteúdo envolvido: estudo de funções quadráticas, formas de representação (fatorada, canônica), cálculo de vértice, interceptos e esboço.

Passo 2

Para achar as raízes, basta resolver
-2(x-3)(x+3)=0
Como o coeficiente -2 não anula a equação, igualamos cada fator a zero:
x-3=0implies x=3, x+3=0implies x=-3
Logo, as raízes são x=-3 e x=3. O eixo de simetria fica na média das raízes:
xeixosym = -3 + 32 = 0

Passo 3

O corte no eixo y é obtido em x=0. Calculamos
f(0) = -2(0-3)(0+3) = -2,(-3)(3) = -2,(-9) = 18
Portanto, o ponto de interseção com o eixo y é (0,18).

Passo 4

Como o eixo de simetria é x=0, o vértice tem abscissa 0. Sua ordenada é justamente f(0)=18. Logo,
V = (0,18)

Passo 5

Forma fatorada: já está dada como
f(x) = -2(x-3)(x+3)
Para obter a forma canônica (vértice), podemos expandir primeiro:
f(x) = -2l(x^2 - 9r) = -2x^2 + 18
Em seguida, escrevemos completando o quadrado ou usando diretamente o vértice (0,18):
f(x) = -2,(x-0)^2 + 18

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Raízes em (-3,0) e (3,0).
  • Vértice em (0,18).
  • Corte no eixo y em (0,18) (mesmo ponto do vértice).
  • Coeficiente principal a=-2<0 indica que a parábola abre para baixo.
| * V(0,18) 18+ uparrow | / | / 0+---*--*-----*--to x -30 3

Resposta

Raízes: x=-3, x=3.
Vértice: (0,18).
Corte no eixo y: (0,18).
Forma fatorada: f(x) = -2(x-3)(x+3).
Forma canônica: f(x) = -2(x-0)^2 + 18.

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