Encontre as Raízes ou zero das funções polinomiais e escreva de forma fatorada.
p(x)=x^4-9 x^3+30 x^2-44 x+24

Passo 1

O enunciado pede encontrar as raízes (zeros) do polinômio
p(x)=x^4-9x^3+30x^2-44x+24
e escrevê-lo em forma fatorada. Vamos usar o Teorema das Raízes Racionais para achar possíveis raízes inteiras e, em seguida, aplicar divisão sintética para fatorar passo a passo.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, os candidatos a raiz são os divisores de 24 (termo constante) sobre divisores de 1 (coeficiente líder), isto é
pm1,pm2,pm3,pm4,pm6,pm8,pm12,pm24
Testando x=2:
p(2)=2^4-9cdot2^3+30cdot2^2-44cdot2+24 =16-72+120-88+24=0
Logo, x=2 é raiz e (x-2) é fator de p(x).

Passo 3

Fazemos divisão sintética de p(x) por (x-2). Os coeficientes são ;1,;-9,;30,;-44,;24;.
Aplicando 2 na divisão sintética, obtemos quociente com coeficientes
1,;-7,;16,;-12
e resto zero. Isso significa que
p(x)=(x-2)l(x^3-7x^2+16x-12r)

Passo 4

Agora tratamos o cúbico
q(x)=x^3-7x^2+16x-12
Testamos novamente x=2:
q(2)=2^3-7cdot2^2+16cdot2-12=8-28+32-12=0
Portanto, (x-2) também divide q(x). Dividindo sinteticamente por 2, obtemos coeficientes
1,;-5,;6
para o polinômio quadrático resultante:
q(x)=(x-2)l(x^2-5x+6r)

Passo 5

Fatoramos o quadrático
x^2-5x+6
por inspeção: ele admite raízes x=2 e x=3, logo
x^2-5x+6=(x-2)(x-3)
Reunindo todos os fatores, temos
p(x)=(x-2),(x-2),(x-2),(x-3)=(x-2)^3(x-3)

Resposta

As raízes são x=2 (multiplicidade 3) e x=3, e a forma fatorada é
p(x)=(x-2)^3(x-3)

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