Sejam f: R R derivável até segunda ordem e g(x)=f(e^2 x). Calcule g^prime prime(0) sabendo que f^prime(1)= f^prime prime(1)=1.

Passo 1

O enunciado define uma função f:RtoR com derivadas até segunda ordem e a composição
g(x)=fl(e^2xr)
e pede g''(0) sabendo que f'(1)=1 e f''(1)=1.
Conteúdo: regra da cadeia e regra do produto para derivadas de segunda ordem de composições.

Passo 2

Calcular g'(x) usando a regra da cadeia. Seja u(x)=e^2x, então u'(x)=2e^2x e
g'(x)=f'l(u(x)r),u'(x) = f'l(e^2xr),2e^2x

Passo 3

Calcular g''(x) aplicando agora a regra do produto em
g'(x)=h(x),k(x),
com h(x)=f'l(e^2xr) e k(x)=2e^2x. Temos
h'(x)=f''l(e^2xr)cdot2e^2x, k'(x)=4e^2x,
então
g''(x)=h'(x),k(x)+h(x),k'(x) = f''l(e^2xr),(2e^2x),(2e^2x) + f'l(e^2xr),4e^2x
Simplificando,
g''(x)=4e^4x,f''l(e^2xr) +4e^2x,f'l(e^2xr)

Passo 4

Avaliar em x=0. Como e^2cdot0=1 e e^4cdot0=1, e usando f'(1)=1, f''(1)=1, obtemos
g''(0)=4cdot1cdot f''(1)+4cdot1cdot f'(1) =4cdot1+4cdot1 =8

Resposta

g''(0)=8.

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