Encontre uma relação entre a, b e c (números reais) para que o sistema
l x+y+2 z=a x+z=b 2 x+y+3 z=c
seja consistente.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar uma relação entre a, b e c para que o sistema
x + y + 2z = a, x + z = b, 2x + y + 3z = c
tenha pelo menos uma solução (isto é, seja consistente). Aqui a matéria é Sistemas Lineares: a gente vai precisar usar eliminação de variáveis e a ideia de determinante (ou de compatibilidade) para ver quando não aparece contradição.

Passo 2

Primeiro, olha o determinante da matriz dos coeficientes:
det 1 & 1 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 3 =1cdot0&11&3 -1cdot1&12&3 +2cdot1&02&1
Calculemos cada menor:
0&11&3=0cdot3-1cdot1=-1,
1&12&3=1cdot3-1cdot2=1,
1&02&1=1cdot1-0cdot2=1.
Logo
det =1cdot(-1)-1cdot1+2cdot1 = -1-1+2 = 0
Determinante zero signfica que ou não tem solução ou tem infinitas. Aí a gente precisa ver a compatibilidade entre as equações.

Passo 3

Vamos eliminar usando a segunda equação x+z=b. Daí
x = b - z
Substituindo em
  1. x+y+2z=a
(b-z)+y+2z=a Longrightarrow y+z=a-b
Chamando isso de (4): y+z=a-b.

Passo 4

Agora substitui x=b-z na terceira equação 2x+y+3z=c:
2(b-z)+y+3z = c Longrightarrow 2b-2z+y+3z=c Longrightarrow y+z=c-2b
Chamamos isso de (5): y+z=c-2b.

Passo 5

Para o sistema não ficar contraditório, as duas expressões para y+z têm que bater:
a - b = c - 2b
Isolando, dá
a - b - c + 2b = 0 Longrightarrow a + b - c = 0 Longrightarrow c = a + b

Resposta

O sistema é consistente se, e somente se,
boxedc = a + b

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