Encontre, utilizando o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial, a solução geral do sistema A X=B, circulando os pivôs na matriz escalonada e indicando as variáveis básicas e livres em cada caso:
A=(cccc1 & 2 & -5 & 4 2 & 4 & 4 & 3 3 & 6 & -1 & 8) e B=(c3 9 10).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
A X = B, A = 1 & 2 & -5 & 4 2 & 4 & 4 & 3 3 & 6 & -1 & 8 , B = 3910
usando eliminação de Gauss com pivotamento parcial, apresentando a forma escalonada, circulando os pivôs e identificando quais variáveis são básicas e livres.

Passo 2

Começamos pela coluna . Entre os elementos na coluna , o maior em valor absoluto é (na linha ). Então trocamos linha com linha :
Agora eliminamos o coeficiente abaixo do pivô :
– Linha Linha ,Linha
– Linha Linha ,Linha
resultando em

Passo 3

Passamos à coluna 2 para o próximo pivô (linha 2). Como todos os candidatos (linhas 2 e 3) são zero, não há pivô na coluna 2 — isso já nos indica que x2 é variável livre. Avançamos para a coluna 3.

Passo 4

Na coluna , entre e em termos de valor absoluto são iguais, então mantemos a linha como pivô. Eliminamos abaixo:
– Linha Linha ,Linha Linha Linha
Finalmente, na coluna temos pivô na linha .

Passo 5

Agora já temos a forma escalonada com pivôs circulados nas colunas 1, 3 e 4. As variáveis básicas correspondem a essas colunas: x1,x3,x4. A coluna 2 não tem pivô, logo x2 é livre.
Fazemos substituição regressiva:
– Da linha 3:
-,x4 = 2 Rightarrow x4 = -2
– Da linha 2:
tfrac143,x3 ;-;tfrac73,x4 ;=;tfrac73 ;Rightarrow; tfrac143,x3 - tfrac73(-2) = tfrac73 ;Rightarrow; tfrac143,x3 + tfrac143 = tfrac73 ;Rightarrow; x3 = -tfrac12
– Da linha 1:
3,x1 + 6,x2 - x3 + 8,x4 = 10 Rightarrow 3,x1 + 6,x2 -l(-tfrac12r) +8(-2) = 10
3,x1 + 6,x2 + tfrac12 -16 = 10 Rightarrow 3,x1 + 6,x2 = 25,5 Rightarrow x1 = 8,5 - 2,x2

Passo 6

Introduzimos o parâmetro livre t = x2. A solução geral fica:
x1 = tfrac172 - 2t, x2 = t, x3 = -tfrac12, x4 = -2, tinR

Resposta

A solução geral é
l(x1,x2,x3,x4r) = l(tfrac172,0,-tfrac12,-2r) + t,( -2,1,0,0), tinR
Variáveis básicas: x1,x3,x4.
Variável livre: x2.

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