Quais são as possíveis formas escalonadas de uma matriz quadrada de ordem 3?
Passo 1
E aí, beleza? O problema pede as possíveis formas escalonadas (row echelon) de uma matriz 3×3. O conteúdo aqui é Álgebra Linear: vamos trabalhar com forma escalonada e posto (rank) de matrizes. Pra resolver, a gente vai precisar entender o que é forma escalonada, o que é pivô e como o número de pivôs (posto) varia de 0 a 3. Bora lá!
Passo 2
Forma escalonada significa três coisas:
- Todas as linhas que são totalmente zero ficam embaixo das que têm algum número.
- Cada linha não-zero tem um pivô, que é o primeiro elemento não-zero da esquerda, e esse pivô está sempre mais à direita que o da linha de cima.
- Abaixo de cada pivô, todos os elementos são zero.
O pivô é só o primeiro número não-zero de cada linha (daí o nome). E o posto (rank) da matriz é justamente quantos pivôs a gente consegue ter.
Passo 3
Como a matriz é 3×3, o posto pode ser
ou
. Se o posto é
, a gente terá
pivôs. Eles ocupam
colunas distintas com índices
O número de jeitos de escolher essas colunas é
. Logo, temos:
-
forma com posto 0, -
formas com posto 1, -
formas com posto 2, -
forma com posto 3.
Passo 4
Pra desenhar cada forma escalonada, basta seguir o padrão:
- Sejam
as colunas dos pivôs. - Na linha
(de a ): as colunas antes de são zero, a coluna é o pivô (não-zero) e as colunas depois podem ser qualquer valor (marcamos com ). - As linhas de
a são totalmente zero.
Pronto: cada conjunto
gera uma forma escalonada distinta.
Resposta
Aqui vão as 8 formas escalonadas (onde
é qualquer número, e os pivôs são posições obrigatoriamente não-zero):
- posto
:
- posto
, colunas de pivôs2 :1,2
- posto
, colunas de pivôs2 :1,3
- posto
, colunas de pivôs2 :2,3
- posto
, coluna de pivô1 :1
- posto
, coluna de pivô1 :2
- posto
, coluna de pivô1 :3
- posto
:0