Quais são as possíveis formas escalonadas de uma matriz quadrada de ordem 3?

Passo 1

E aí, beleza? O problema pede as possíveis formas escalonadas (row echelon) de uma matriz 3×3. O conteúdo aqui é Álgebra Linear: vamos trabalhar com forma escalonada e posto (rank) de matrizes. Pra resolver, a gente vai precisar entender o que é forma escalonada, o que é pivô e como o número de pivôs (posto) varia de 0 a 3. Bora lá!

Passo 2

Forma escalonada significa três coisas:
  1. Todas as linhas que são totalmente zero ficam embaixo das que têm algum número.
  2. Cada linha não-zero tem um pivô, que é o primeiro elemento não-zero da esquerda, e esse pivô está sempre mais à direita que o da linha de cima.
  3. Abaixo de cada pivô, todos os elementos são zero.
O pivô é só o primeiro número não-zero de cada linha (daí o nome). E o posto (rank) da matriz é justamente quantos pivôs a gente consegue ter.

Passo 3

Como a matriz é 3×3, o posto pode ser 0,1,2 ou 3. Se o posto é r, a gente terá r pivôs. Eles ocupam r colunas distintas com índices
1 <= j1 < j2 < dots < jr <= 3
O número de jeitos de escolher essas colunas é binom3r. Logo, temos:
  • binom30=1 forma com posto 0,
  • binom31=3 formas com posto 1,
  • binom32=3 formas com posto 2,
  • binom33=1 forma com posto 3.

Passo 4

Pra desenhar cada forma escalonada, basta seguir o padrão:
  • Sejam j1,dots,jr as colunas dos pivôs.
  • Na linha i (de 1 a r): as colunas antes de ji são zero, a coluna ji é o pivô (não-zero) e as colunas depois podem ser qualquer valor (marcamos com *).
  • As linhas de r+1 a 3 são totalmente zero.
Pronto: cada conjunto j1,dots,jr gera uma forma escalonada distinta.

Resposta

Aqui vão as 8 formas escalonadas (onde * é qualquer número, e os pivôs são posições obrigatoriamente não-zero):
  1. posto 3:
* & * & * 0 & * & * 0 & 0 & *
  1. posto 2, colunas de pivôs 1,2:
* & * & * 0 & * & * 0 & 0 & 0
  1. posto 2, colunas de pivôs 1,3:
* & * & * 0 & 0 & * 0 & 0 & 0
  1. posto 2, colunas de pivôs 2,3:
0 & * & * 0 & 0 & * 0 & 0 & 0
  1. posto 1, coluna de pivô 1:
* & * & * 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
  1. posto 1, coluna de pivô 2:
0 & * & * 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
  1. posto 1, coluna de pivô 3:
0 & 0 & * 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
  1. posto 0:
0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

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