Encontre, utilizando o método de eliminação de Gauss, a solução geral do sistema A X=B, circulando os pivôs na matriz escalonada e indicando as variáveis básicas e livres, sendo:
(c) A=(llll1 & 2 & -5 & 4 2 & 4 & -9 & 9 1 & 2 & -5 & 4) e B=(l0 0 0).

Passo 1

Beleza, vamos resumir: o exercício pede pra resolver, usando eliminação de Gauss, o sistema
A,X = B, A = 1 & 2 & -5 & 4 2 & 4 & -9 & 9 1 & 2 & -5 & 4 , B = 000
Conteúdo: sistemas lineares e eliminação de Gauss. A gente vai precisar:
  • montar a matriz aumentada (A|B);
  • usar operações elementares de linha pra escalonar;
  • identificar pivôs, variáveis básicas e livres;
  • escrever a solução geral.

Passo 2

Primeiro, monta a matriz aumentada. É só juntar como coluninha extra pra aplicar as mesmas operações na parte da direita:
Assim a gente resolve tudo de uma vez.

Passo 3

Agora vem o coração da eliminação de Gauss. A gente escolhe o pivô na primeira coluna, que é o da primeira linha, e zera todo mundo abaixo:
  • ;
  • .
    Fazendo as contas:
  • .
  • .
    Ficamos com

Passo 4

Agora a gente circula (destaca) os pivôs na forma escalonada. O pivô de cada linha é o primeiro número não zero:
boxed1 & 2 & -5 & 4 0 & 0 & boxed1 & 1 0 & 0 & 0 & 0
Temos pivôs em (linha 1, coluna 1) e (linha 2, coluna 3).

Passo 5

Identificamos as variáveis:
  • Básicas: correspondem às colunas dos pivôs, então x1 e x3.
  • Livres: colunas sem pivô, ou seja x2 e x4.
    As variáveis livres virarão parâmetros na solução.

Passo 6

Escrevendo as equações:
  • Da segunda linha:
x3 + x4 = 0 ;Longrightarrow; x3 = -x4
  • Da primeira linha:
x1 + 2x2 -5x3 +4x4 = 0
Substituindo x3 = -x4:
x1 + 2x2 -5(-x4) +4x4 = 0 ;Rightarrow; x1 + 2x2 +5x4 +4x4 = 0 ;Rightarrow; x1 = -2x2 -9x4
Chama t = x2 e s = x4 como parâmetros livres. Então:
x1 = -2t -9s, x2 = t, x3 = -s, x4 = s

Resposta

A solução geral do sistema é
(x1,x2,x3,x4) = l(-2t -9s,;t,;-s,;sr), t,sin R,
ou, em forma vetorial,
X = t-2100 +s-90-11, t,sin R

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