Encontre, utilizando o método de eliminação de Gauss, a solução geral do sistema
, circulando os pivôs na matriz escalonada e indicando as variáveis básicas e livres, sendo:
(c)
e
B=(l0 0 0) .
(c)
Passo 1
Beleza, vamos resumir: o exercício pede pra resolver, usando eliminação de Gauss, o sistema
Conteúdo: sistemas lineares e eliminação de Gauss. A gente vai precisar:
- montar a matriz aumentada
;(A|B) - usar operações elementares de linha pra escalonar;
- identificar pivôs, variáveis básicas e livres;
- escrever a solução geral.
Passo 2
Primeiro, monta a matriz aumentada. É só juntar
como coluninha extra pra aplicar as mesmas operações na parte da direita:
Assim a gente resolve tudo de uma vez.
Passo 3
Agora vem o coração da eliminação de Gauss. A gente escolhe o pivô na primeira coluna, que é o
da primeira linha, e zera todo mundo abaixo:
-
; -
.
Fazendo as contas: -
. -
.
Ficamos com
Passo 4
Agora a gente circula (destaca) os pivôs na forma escalonada. O pivô de cada linha é o primeiro número não zero:
Temos pivôs em (linha 1, coluna 1) e (linha 2, coluna 3).
Passo 5
Identificamos as variáveis:
- Básicas: correspondem às colunas dos pivôs, então
ex1 .x3 - Livres: colunas sem pivô, ou seja
ex2 .x4
As variáveis livres virarão parâmetros na solução.
Passo 6
Escrevendo as equações:
- Da segunda linha:
- Da primeira linha:
Substituindo
x3 = -x4 :
Chama
t = x2 e
s = x4 como parâmetros livres. Então:
Resposta
A solução geral do sistema é
ou, em forma vetorial,