Seja a superfície S parte do cone z^2=x^2+y^2 que se encontra dentro do cilindro x^2+y^2=2y, fora do cilindro x^2+y^2=1 e acima do plano xy.
Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas cartesianas.

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar uma parametrização da superfície S, que é parte do cone z^2 = x^2 + y^2 . Essa parte do cone está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 2y , fora do cilindro x^2 + y^2 = 1 e acima do plano xy. Vamos usar coordenadas cartesianas para isso. Vamos precisar entender como esses cilindros e o cone se relacionam espacialmente para definir os limites da nossa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar os cilindros. O cilindro x^2 + y^2 = 2y pode ser reescrito completando o quadrado:
x^2 + y^2 = 2y
x^2 + y^2 - 2y = 0
x^2 + (y - 1)^2 = 1
Isso mostra que é um cilindro circular com raio 1, centrado no eixo y deslocado para y = 1.

Passo 3

O cilindro x^2 + y^2 = 1 é mais simples: é um cilindro circular com raio 1, centrado na origem (0,0) no plano xy.

Passo 4

Agora, vamos pensar no cone z^2 = x^2 + y^2 . Esse é um cone circular reto que se abre para cima e para baixo a partir da origem. Como queremos apenas a parte acima do plano xy, consideramos z >= 0 .

Passo 5

Para parametrizar a superfície S em coordenadas cartesianas, podemos usar x e y como parâmetros e expressar z em função deles. A equação do cone nos dá:
z = raizx^2 + y^2
Então, nossa parametrização inicial fica:
r(x, y) = (x, y, raizx^2 + y^2)

Passo 6

Agora, precisamos definir os limites para x e y de forma que r(x, y) esteja dentro do cilindro x^2 + y^2 = 2y e fora do cilindro x^2 + y^2 = 1 .
Isso significa que para cada ponto (x, y):
1 <= x^2 + y^2 <= 2y

Passo 7

Vamos simplificar a condição 2y >= x^2 + y^2 :
2y >= x^2 + y^2
x^2 + y^2 - 2y <= 0
x^2 + (y - 1)^2 - 1 <= 0
x^2 + (y - 1)^2 <= 1
Isso confirma que (x, y) está dentro do cilindro x^2 + (y - 1)^2 = 1 .

Passo 8

Portanto, nossa região de parametrização está definida por:
1 <= x^2 + y^2 <= 2y
Isso descreve a área entre os dois cilindros no plano xy.

Resposta

A parametrização para a superfície S em coordenadas cartesianas é:
r(x, y) = ( x, y, raizx^2 + y^2 )
Onde os parâmetros x e y satisfazem:
1 <= x^2 + y^2 <= 2y

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