Seja a superfície S parte do cone
que se encontra dentro do cilindro
, fora do cilindro
e acima do plano
.
Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas cartesianas.
Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas cartesianas.
Passo 1
Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar uma parametrização da superfície S, que é parte do cone
. Essa parte do cone está dentro do cilindro
, fora do cilindro
e acima do plano xy. Vamos usar coordenadas cartesianas para isso. Vamos precisar entender como esses cilindros e o cone se relacionam espacialmente para definir os limites da nossa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar os cilindros. O cilindro
pode ser reescrito completando o quadrado:
Isso mostra que é um cilindro circular com raio 1, centrado no eixo y deslocado para y = 1.
Passo 3
O cilindro
é mais simples: é um cilindro circular com raio 1, centrado na origem (0,0) no plano xy.
Passo 4
Agora, vamos pensar no cone
. Esse é um cone circular reto que se abre para cima e para baixo a partir da origem. Como queremos apenas a parte acima do plano xy, consideramos
.
Passo 5
Para parametrizar a superfície S em coordenadas cartesianas, podemos usar x e y como parâmetros e expressar z em função deles. A equação do cone nos dá:
Então, nossa parametrização inicial fica:
Passo 6
Agora, precisamos definir os limites para x e y de forma que
esteja dentro do cilindro
e fora do cilindro
.
Isso significa que para cada ponto (x, y):
Passo 7
Vamos simplificar a condição
:
Isso confirma que (x, y) está dentro do cilindro
.
Passo 8
Portanto, nossa região de parametrização está definida por:
Isso descreve a área entre os dois cilindros no plano xy.
Resposta
A parametrização para a superfície S em coordenadas cartesianas é:
Onde os parâmetros
e
satisfazem: