Encontre uma representação em série de potência para
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar uma representação em série de potência para a função $ e{-x{2}} $. O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries de potências e a expansão de funções exponenciais. Basicamente, precisamos reescrever $ e{-x{2}} $ como uma soma infinita de termos envolvendo potências de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série de Taylor para a função exponencial $ e^{u} $, que é dada por:
Aqui, $ u $ pode ser qualquer expressão em termos de $ x $. No nosso caso, $ u = -x^{2} $.
Passo 3
Substituindo $ u = -x^{2} $ na série de Taylor, a gente tem:
Isso significa que estamos elevando $ -x^{2} $ à potência $ n $ para cada termo da série.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão $ (-x{2}){n} $. Sabemos que:
Então, nossa série fica:
Isso deixa claro que cada termo da série envolve $ x $ elevado a uma potência par, multiplicado por $ (-1)^{n} $ e dividido por $ n! $.
Resposta
A representação em série de potência para $ e{-x{2}} $ é: