Encontre uma representação em série de potência para e^-x^2

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar uma representação em série de potência para a função $ e{-x{2}} $. O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries de potências e a expansão de funções exponenciais. Basicamente, precisamos reescrever $ e{-x{2}} $ como uma soma infinita de termos envolvendo potências de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série de Taylor para a função exponencial $ e^{u} $, que é dada por:
e^u
Aqui, $ u $ pode ser qualquer expressão em termos de $ x $. No nosso caso, $ u = -x^{2} $.

Passo 3

Substituindo $ u = -x^{2} $ na série de Taylor, a gente tem:
u = -x^2
Isso significa que estamos elevando $ -x^{2} $ à potência $ n $ para cada termo da série.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão $ (-x{2}){n} $. Sabemos que:
(-x^2)^n
Então, nossa série fica:
(-x^2)^n = (-1)^n cdot x^2n
Isso deixa claro que cada termo da série envolve $ x $ elevado a uma potência par, multiplicado por $ (-1)^{n} $ e dividido por $ n! $.

Resposta

A representação em série de potência para $ e{-x{2}} $ é:
e^-x^2

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