Exercício 4. Use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace das seguintes funções, onde n é um número positivo e a é uma constante real.
f(t)=t a^a t

Passo 1

O enunciado nos pede a transformada de Laplace da função f(t)=t,a^a t. Vamos usar a definição de transformada de Laplace e fazer uma integração por partes para chegar ao resultado.

Passo 2

Começamos escrevendo a definição:
Lt,a^a t(s)=integral0^inftyt,a^a t,e^-s t,dt
Aqui precisamos lidar com a expressão a^a t.

Passo 3

Observamos que
a^a t=e^a tln a
Portanto o integrando fica
t,a^a t,e^-s t=t,e^a tln a,e^-s t=t,e^-(s - aln a)t

Passo 4

Agora definimos c=s - aln a. A integral torna-se
integral0^inftyt,e^-c t,dt
Para essa integral, aplicamos integração por partes: seja u=t e dv=e^-c tdt. Então du=dt e v=-tfrac1ce^-c t.

Passo 5

Pelo método de partes:
integral0^inftyt,e^-c tdt=lu,vr|0^infty-integral0^inftyv,du
Substituindo:
l-tfractce^-c tr|0^infty+tfrac1cintegral0^inftye^-c tdt
No limite ttoinfty, como Re(c)>0, o termo t e^-c t vai a zero. Em zero, também dá zero. Então sobram:
tfrac1cintegral0^inftye^-c tdt=tfrac1ccdottfrac1c=tfrac1c^2

Passo 6

Voltando a c=s - aln a, concluímos:
Lt,a^a t(s)=1(s - aln a)^2

Resposta

1(s - aln a)^2

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