Esboçe o gráfico das funções a seguir:
f(x, y)=3

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função f(x,y)=3.
Informações dadas que são relevantes:
  • A função atribui o valor 3 a qualquer par (x,y).
  • Não há restrição sobre x ou y no enunciado (logo o domínio é todo o plano).
    O que precisamos desenhar: o conjunto de pontos (x,y,z) no espaço tridimensional que representam o gráfico de f.

Passo 2

O que é o gráfico de uma função de duas variáveis?
Definição prática: o gráfico de uma função f é o conjunto de pontos (x,y,z) em \mathbb{R}^3 tais que
z = f(x,y).
Aqui cada ponto do plano (x,y) é levado a uma altura z. No desenho, colocamos eixos x, y (no chão) e z vertical.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso f(x,y)=3: para qualquer (x,y) temos
z = 3.
Portanto o gráfico é o conjunto
\{(x,y,3)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.
Isso nos dá imediatamente o domínio e a imagem:
  • Domínio: \mathbb{R}^2 (todos os pares (x,y)).
  • Imagem (contradomínio efetivo): \{3\} (apenas o valor 3).

Passo 4

Interpretação geométrica simples e intuitiva: o conjunto \{(x,y,3)\} é um plano paralelo ao plano xy (plano horizontal), situado na altura z=3. Em termos de equação cartesiana, é o plano
z = 3.
O vetor normal a esse plano é (0,0,1) (aponta para cima), porque o plano não depende de x nem de y.

Passo 5

Como esboçar isso à mão (passo a passo pra prova — sem régua 3D):
  1. Desenhe três eixos: eixo x para a direita, eixo y saindo obliquamente para a esquerda (plano horizontal visto em perspectiva) e eixo z vertical para cima.
  2. Marque uma altura na escala do eixo z e escreva 3 nessa marca: esse é o nível onde fica o plano.
  3. Desenhe um retângulo ou uma placa paralela ao plano formado pelos eixos x e y, posicionada exatamente na altura z=3. Use linhas tracejadas para as arestas escondidas (atrás) para dar sensação de profundidade.
  4. Opcional: desenhe umas poucas linhas de grade paralelas aos eixos x e y sobre essa placa para mostrar que o plano cobre todo o plano xy só que elevado.

Passo 6

Verificações úteis e maneiras de visualizar (ajuda a convencer o examinador que entendeu):
  • Escolha pontos concretos: (0,0)\mapsto(0,0,3), (1,2)\mapsto(1,2,3), (-3,5)\mapsto(-3,5,3). Todos ficam na mesma altura z=3.
  • Se intersectar o gráfico com um plano vertical, por exemplo y=0, a interseção é a reta \{(x,0,3)\mid x\in\mathbb{R}\} (uma linha horizontal na altura 3 no plano xz). O mesmo acontece para qualquer plano vertical x= constante ou y= constante: sempre uma reta horizontal a z=3.
  • As curvas de nível (contornos) no plano xy para o valor 3 é o próprio domínio inteiro: todos os pontos do plano xy têm nível 3. Para qualquer outro valor z\neq3 não há curva de nível (vazio).

Passo 7

Resumo prático para a prova (o que escrever junto ao esboço):
  • Dizer que f é função constante com f(x,y)=3 para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2.
  • Escrever que o gráfico é o plano horizontal z=3 e, se quiser reforçar, apresentar a forma paramétrica (x,y,3) ou a equação cartesiana z=3.
  • Fazer um desenho simples conforme Passo 5 mostrando a “placa” paralela ao plano xy na altura 3.

Passo 8

Pequena observação didática e motivadora: constante em duas variáveis é ainda mais simples que constante em uma variável — em 1D o gráfico seria uma linha horizontal; em 2D o gráfico vira uma “placa” (um plano) horizontal. É só lembrar: se o z não depende de x nem de y, o gráfico é um plano paralelo ao chão.

Resposta

\{(x,y,3)\mid x,y\in\mathbb{R}\}

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