Esboçe o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
.
Informações dadas que são relevantes:
Informações dadas que são relevantes:
- A função atribui o valor
a qualquer par . - Não há restrição sobre
ou no enunciado (logo o domínio é todo o plano).
O que precisamos desenhar: o conjunto de pontosno espaço tridimensional que representam o gráfico de .
Passo 2
O que é o gráfico de uma função de duas variáveis?
Definição prática: o gráfico de uma função é o conjunto de pontos
em
tais que
Definição prática: o gráfico de uma função
Aqui cada ponto do plano
é levado a uma altura
. No desenho, colocamos eixos
,
(no chão) e
vertical.
Passo 3
Aplicando a definição ao caso
: para qualquer
temos
Portanto o gráfico é o conjunto
Isso nos dá imediatamente o domínio e a imagem:
- Domínio:
(todos os pares ). - Imagem (contradomínio efetivo):
(apenas o valor ).
Passo 4
Interpretação geométrica simples e intuitiva: o conjunto
é um plano paralelo ao plano
(plano horizontal), situado na altura
. Em termos de equação cartesiana, é o plano
O vetor normal a esse plano é
(aponta para cima), porque o plano não depende de
nem de
.
Passo 5
Como esboçar isso à mão (passo a passo pra prova — sem régua 3D):
- Desenhe três eixos: eixo
para a direita, eixo saindo obliquamente para a esquerda (plano horizontal visto em perspectiva) e eixo vertical para cima. - Marque uma altura na escala do eixo
e escreva nessa marca: esse é o nível onde fica o plano. - Desenhe um retângulo ou uma placa paralela ao plano formado pelos eixos
e , posicionada exatamente na altura . Use linhas tracejadas para as arestas escondidas (atrás) para dar sensação de profundidade. - Opcional: desenhe umas poucas linhas de grade paralelas aos eixos
e sobre essa placa para mostrar que o plano cobre todo o plano só que elevado.
Passo 6
Verificações úteis e maneiras de visualizar (ajuda a convencer o examinador que entendeu):
- Escolha pontos concretos:
, , . Todos ficam na mesma altura . - Se intersectar o gráfico com um plano vertical, por exemplo
, a interseção é a reta (uma linha horizontal na altura no plano ). O mesmo acontece para qualquer plano vertical constante ou constante: sempre uma reta horizontal a . - As curvas de nível (contornos) no plano
para o valor é o próprio domínio inteiro: todos os pontos do plano têm nível . Para qualquer outro valor não há curva de nível (vazio).
Passo 7
Resumo prático para a prova (o que escrever junto ao esboço):
- Dizer que
é função constante com para todo . - Escrever que o gráfico é o plano horizontal
e, se quiser reforçar, apresentar a forma paramétrica ou a equação cartesiana . - Fazer um desenho simples conforme Passo 5 mostrando a “placa” paralela ao plano
na altura .
Passo 8
Pequena observação didática e motivadora: constante em duas variáveis é ainda mais simples que constante em uma variável — em 1D o gráfico seria uma linha horizontal; em 2D o gráfico vira uma “placa” (um plano) horizontal. É só lembrar: se o
não depende de
nem de
, o gráfico é um plano paralelo ao chão.