Esboçe o gráfico das funções a seguir:
f(x, y)=1-x-y

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função de duas variáveis
f(x,y)=1-x-y.
Informações dadas:
  • A função recebe duas variáveis x e y e devolve um valor real f(x,y).
  • Quer-se o gráfico dessa função no espaço tridimensional (ou seja, a superfície formada pelos pontos (x,y,z) com z=f(x,y)).

Passo 2

Escrevendo explicitamente a superfície que vamos desenhar: colocar z=f(x,y). Assim
z=1-x-y.
Isto significa que o gráfico é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) que satisfazem a equação acima. Em palavras: o gráfico é uma superfície plana (um plano) no espaço 3D.

Passo 3

Achar interceptos com os eixos é uma maneira simples e eficaz de começar o esboço. Vamos calcular os pontos onde o plano corta os três eixos coordenados.
  • Interseção com o eixo z: tomar x=0 e y=0.
z=1-0-0=1.
Logo o ponto é (0,0,1).
  • Interseção com o eixo x: tomar y=0 e z=0 (procuramos onde o plano corta o plano z=0 sobre o eixo x):
0=1-x-0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Logo o ponto é (1,0,0).
  • Interseção com o eixo y: tomar x=0 e z=0:
0=1-0-y \quad\Rightarrow\quad y=1.
Logo o ponto é (0,1,0).
Esses três pontos (0,0,1), (1,0,0) e (0,1,0) estão sobre o plano e já fornecem uma boa “estrutura” para o esboço.

Passo 4

Reescrever a equação do plano em forma simétrica ajuda a identificar o vetor normal. Da equação z=1-x-y obtemos
x+y+z=1.
O vetor normal ao plano é dado pelos coeficientes de x,y,z, ou seja
\mathbf{n}=(1,1,1).
Saber o vetor normal é útil para entender a inclinação do plano e também para desenhá-lo orientado corretamente no espaço.

Passo 5

Interpretar a inclinação do plano via derivadas parciais (útil para entender voltas e declives ao mover-se em x ou y).
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(1-x-y)=-1.
Significa que, ao aumentar x em 1 (mantendo y fixo), z diminui em 1: o plano “declina” com inclinação -1 na direção x.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(1-x-y)=-1.
Analogamente, ao aumentar y em 1 (mantendo x fixo), z também diminui em 1.
Essas inclinações iguais mostram que o plano tem a mesma taxa de descida ao longo de x e de y.

Passo 6

Ver as curvas de nível (contornos) ajuda muito no esboço. Curvas de nível são as retas onde f(x,y)=c para constantes c:
1-x-y=c \quad\Leftrightarrow\quad x+y=1-c.
Para cada c obtemos uma reta no plano Oxy com coeficiente angular -1. Exemplos simples:
  • Para c=1: x+y=0 (reta passando pela origem).
  • Para c=0: x+y=1 (reta que passa por (1,0) e (0,1)).
  • Para c=-1: x+y=2 (reta paralela às anteriores, deslocada).
No esboço 3D essas retas correspondem a interseções do plano com planos horizontais z=c; elas são todas paralelas entre si e inclinadas a -45^\circ no plano xy.

Passo 7

Fazer secções (fatias) do plano ajuda a visualizar: cortar por planos como y= constante ou x= constante dá retas no plano xz ou yz.
  • Seção y=0: z=1-x. É uma reta no plano x\!z que passa por (0,1) (no eixo z) e por (1,0) (no eixo x).
  • Seção x=0: z=1-y. É uma reta no plano y\!z que passa por (0,1) (no eixo z) e por (1,0) (no eixo y).
Essas duas secções formam arestas visíveis do triângulo que se vê quando o plano é cortado pela caixa formada pelos três eixos positivos.

Passo 8

Passo a passo prático para desenhar o esboço (sem régua 3D, só à mão):
  1. Desenhe três eixos mutuamente perpendiculares: eixo x apontando para a direita, eixo y oblíquo indo para trás-direita, eixo z para cima.
  2. Marque e rotule os pontos intercepto: (1,0,0) no eixo x, (0,1,0) no eixo y e (0,0,1) no eixo z.
  3. Una os três pontos para formar um triângulo; esse triângulo é a interseção do plano com o cubo de aresta 1 nos eixos positivos. Extenda a chapa triangular formando uma superfície plana infinita (desenhe retas paralelas às arestas para “estender” o plano).
  4. Opcional: desenhe algumas curvas de nível projetadas no plano xy (retas x+y= constante) e algumas linhas de seção y=0 e x=0 para reforçar a perspectiva.
  5. Se quiser, marque o vetor normal \mathbf{n}=(1,1,1) saindo de um ponto do plano e apontando “na diagonal” para cima, mostrando a orientação.

Passo 9

Dica rápida para a prova: com planos afins do tipo ax+by+cz=d sempre busque interceptos e o vetor normal (a,b,c). Interceptos dão pontos fáceis para desenhar; o vetor normal dá a inclinação. Para funções z=f(x,y), curvas de nível f(x,y)=c e secções x= constante / y= constante são ferramentas que funcionam sempre.

Resposta

O gráfico é o plano \;z=1-x-y\;, que pode ser escrito como \;x+y+z=1\;.
Ele intercepta os eixos nos pontos (0,0,1), (1,0,0) e (0,1,0); o vetor normal é \mathbf{n}=(1,1,1).

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