Esboçe o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função de duas variáveis
Informações dadas:
- A função recebe duas variáveis
e e devolve um valor real . - Quer-se o gráfico dessa função no espaço tridimensional (ou seja, a superfície formada pelos pontos
com ).
Passo 2
Escrevendo explicitamente a superfície que vamos desenhar: colocar
. Assim
Isto significa que o gráfico é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem a equação acima. Em palavras: o gráfico é uma superfície plana (um plano) no espaço 3D.
Passo 3
Achar interceptos com os eixos é uma maneira simples e eficaz de começar o esboço. Vamos calcular os pontos onde o plano corta os três eixos coordenados.
- Interseção com o eixo
: tomar e .
Logo o ponto é
.
- Interseção com o eixo
: tomar e (procuramos onde o plano corta o plano sobre o eixo ):
Logo o ponto é
.
- Interseção com o eixo
: tomar e :
Logo o ponto é
.
Esses três pontos
,
e
estão sobre o plano e já fornecem uma boa “estrutura” para o esboço.
Passo 4
Reescrever a equação do plano em forma simétrica ajuda a identificar o vetor normal. Da equação
obtemos
O vetor normal ao plano é dado pelos coeficientes de
, ou seja
Saber o vetor normal é útil para entender a inclinação do plano e também para desenhá-lo orientado corretamente no espaço.
Passo 5
Interpretar a inclinação do plano via derivadas parciais (útil para entender voltas e declives ao mover-se em
ou
).
- Derivada parcial em relação a
:
Significa que, ao aumentar
em 1 (mantendo
fixo),
diminui em 1: o plano “declina” com inclinação
na direção
.
- Derivada parcial em relação a
:
Analogamente, ao aumentar
em 1 (mantendo
fixo),
também diminui em 1.
Essas inclinações iguais mostram que o plano tem a mesma taxa de descida ao longo de
e de
.
Passo 6
Ver as curvas de nível (contornos) ajuda muito no esboço. Curvas de nível são as retas onde
para constantes
:
Para cada
obtemos uma reta no plano
com coeficiente angular
. Exemplos simples:
- Para
: (reta passando pela origem). - Para
: (reta que passa por e ). - Para
: (reta paralela às anteriores, deslocada).
No esboço 3D essas retas correspondem a interseções do plano com planos horizontais
; elas são todas paralelas entre si e inclinadas a
no plano
.
Passo 7
Fazer secções (fatias) do plano ajuda a visualizar: cortar por planos como
constante ou
constante dá retas no plano
ou
.
- Seção
: . É uma reta no plano que passa por (no eixo ) e por (no eixo ). - Seção
: . É uma reta no plano que passa por (no eixo ) e por (no eixo ).
Essas duas secções formam arestas visíveis do triângulo que se vê quando o plano é cortado pela caixa formada pelos três eixos positivos.
Passo 8
Passo a passo prático para desenhar o esboço (sem régua 3D, só à mão):
- Desenhe três eixos mutuamente perpendiculares: eixo
apontando para a direita, eixo oblíquo indo para trás-direita, eixo para cima. - Marque e rotule os pontos intercepto:
no eixo , no eixo e no eixo . - Una os três pontos para formar um triângulo; esse triângulo é a interseção do plano com o cubo de aresta
nos eixos positivos. Extenda a chapa triangular formando uma superfície plana infinita (desenhe retas paralelas às arestas para “estender” o plano). - Opcional: desenhe algumas curvas de nível projetadas no plano
(retas constante) e algumas linhas de seção e para reforçar a perspectiva. - Se quiser, marque o vetor normal
saindo de um ponto do plano e apontando “na diagonal” para cima, mostrando a orientação.
Passo 9
Dica rápida para a prova: com planos afins do tipo
sempre busque interceptos e o vetor normal
. Interceptos dão pontos fáceis para desenhar; o vetor normal dá a inclinação. Para funções
, curvas de nível
e secções
constante /
constante são ferramentas que funcionam sempre.
Resposta
O gráfico é o plano
, que pode ser escrito como
.
Ele intercepta os eixos nos pontos ,
e
; o vetor normal é
.
Ele intercepta os eixos nos pontos