Verificar se os limites existem e, se existirem, calcular seu valor, usando aproximações indicadas:
lim substackx 1 y 0 (x-1)^2 y(x-1)^4+y^2
a) pela reta x=1;
b) pela reta y=x-1 (se necessário);
c) pela parábola y=(x-1)^2 (se necessário);

Passo 1

O enunciado pede para estudar
lim(x,y)to(1,0)(x-1)^2,y(x-1)^4+y^2
ao longo de três curvas: a reta x=1, a reta y=x-1 e a parábola y=(x-1)^2. Vamos substituir cada equação na função e calcular o limite unidimensional correspondente.

Passo 2

Aproximação pela reta . Fixamos e deixamos . Então e
Logo

Passo 3

Aproximação pela reta . Ponhamos , com . Então
Como temos . Portanto

Passo 4

Aproximação pela parábola . Ponhamos , com . Então
Logo

Passo 5

Os limites ao longo de x=1 e de y=x-1 valem 0, mas ao longo de y=(x-1)^2 vale tfrac12. Como os valores são diferentes, o limite geral não existe.

Resposta

a) 0
b) 0
c) tfrac12
Portanto, o limite não existe.

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