Verificar se os limites existem e, se existirem, calcular seu valor, usando aproximações indicadas:
lim substackx 0 y 0 -x^2 y2 x^2+2 y^2
a) pelos eixos coordenados;
b) pela reta y=m x (se necessário);
c) pela parábola y=x^2 (se necessário);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe
lim(x,y)to(0,0)-x^2y2x^2+2y^2
usando trajetórias específicas (eixos, reta y=mx e parábola y=x^2). Esse é um problema de limite de função de duas variáveis e queremos ver se o valor se mantém o mesmo em diferentes aproximações.

Passo 2

Aproximação pelos eixos coordenados:
  • Pela reta y=0:
-x^2cdot02x^2+2cdot0^2=0,
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lim(x,0)to(0,0)-x^2y2x^2+2y^2=0
  • Pela reta x=0:
-0^2,y2cdot0^2+2y^2=0,
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lim(0,y)to(0,0)-x^2y2x^2+2y^2=0

Passo 3

Aproximação pela reta y=mx, onde m é constante:
-x^2(m x)2x^2+2(m x)^2 =-m,x^32x^2(1+m^2) =-m,x2(1+m^2)
Como xto0, temos
limxto0l(-tfracm,x2(1+m^2)r)=0

Passo 4

Aproximação pela parábola y=x^2:
-x^2,(x^2)2x^2+2(x^2)^2 =-x^42x^2(1+x^2) =-x^22(1+x^2)
Como xto0,
limxto0l(-tfracx^22(1+x^2)r)=0

Passo 5

Para concluir de forma geral, mudamos para coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta. Então
-x^2y2x^2+2y^2 =-r^2cos^2theta,(rsintheta)2r^2 =-rcos^2thetasintheta2
Quando rto0, esse valor vai a 0 independentemente de theta. Logo o limite existe e é 0.

Resposta

0

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