Verificar se os limites existem e, se existirem, calcular seu valor, usando aproximações indicadas:
a) pelos eixos coordenados;
b) pela reta
(se necessário);
c) pela parábola
(se necessário);
a) pelos eixos coordenados;
b) pela reta
c) pela parábola
Passo 1
O enunciado pede para verificar se existe
usando trajetórias específicas (eixos, reta
e parábola
). Esse é um problema de limite de função de duas variáveis e queremos ver se o valor se mantém o mesmo em diferentes aproximações.
Passo 2
Aproximação pelos eixos coordenados:
- Pela reta
:
logo
- Pela reta
:
logo
Passo 3
Aproximação pela reta
, onde
é constante:
Como
, temos
Passo 4
Aproximação pela parábola
:
Como
,
Passo 5
Para concluir de forma geral, mudamos para coordenadas polares:
,
. Então
Quando
, esse valor vai a
independentemente de
. Logo o limite existe e é
.