Encontre uma representação em série de potências, centrada em
, para a função e determine o raio de convergência:
e
Passo 1
O enunciado pede para obter a série de potências de f(x)=x³/(x−2)² centrada em x₀=0 e determinar o raio de convergência. O conteúdo é expansão em série de potências usando a série geométrica e suas derivadas.
Passo 2
Primeiro notamos que (x−2)²=(2−x)², então f(x)=x³/(2−x)². Para usar séries conhecidas, introduzimos t=x/2, de modo que 2−x=2(1−t).
Sabemos que para |t|<1 vale a identidade
Sabemos que para |t|<1 vale a identidade
Passo 3
Substituindo t=x/2 e lembrando do fator 1/2², obtemos
Multiplicando por x³, chega-se a
Passo 4
Fazendo a troca de índice k=n+3 obtém-se
Resposta
A série de potências centrada em 0 é