Encontre uma representação em série de potências, centrada em x0, para a função e determine o raio de convergência:
f(x)=x^3(x-2)^2 e x0=0

Passo 1

O enunciado pede para obter a série de potências de f(x)=x³/(x−2)² centrada em x₀=0 e determinar o raio de convergência. O conteúdo é expansão em série de potências usando a série geométrica e suas derivadas.

Passo 2

Primeiro notamos que (x−2)²=(2−x)², então f(x)=x³/(2−x)². Para usar séries conhecidas, introduzimos t=x/2, de modo que 2−x=2(1−t).
Sabemos que para |t|<1 vale a identidade
1(1−t)²=sumn=0^infty(n+1)t^n²

Passo 3

Substituindo t=x/2 e lembrando do fator 1/2², obtemos
1(2−x)²=14,1(1−x/2)²=sumn=0^inftyn+12^n+2x^n²²
Multiplicando por x³, chega-se a
f(x)=x³(2−x)²=sumn=0^inftyn+12^n+2x^n+3³²

Passo 4

Fazendo a troca de índice k=n+3 obtém-se
f(x)=sumk=3^inftyk−22^k−1x^k, e o raio de convergência vem de |x/2|<1, ou seja R=2.

Resposta

A série de potências centrada em 0 é
f(x)=sumn=0^inftyn+12^n+2,x^n+3;=;sumk=3^inftyk-22^k-1,x^k, com raio de convergência R=2.

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