Encontre uma representação em série de potências para f, trace f e várias somas parciais sn(x) na mesma tela. O que acontece quando n cresce?
f(x)=tg^-1(2 x)

Passo 1

Neste exercício, queremos encontrar a série de potências de f(x)=tg^{-1}(2x) (arctan(2x)) em torno de x=0 e desenhar f e várias somas parciais s_n(x). O conteúdo é a série de Maclaurin de arctan(z) e depois substituir z por 2x.

Passo 2

Sabemos que, para |z|≤1, a série de Maclaurin de arctan(z) é dada por:
arctan(z)=sumk=0^infty(-1)^kz^2k+12k+1

Passo 3

Substituindo z=2x na expansão acima, obtemos:
arctan(2x)=sumk=0^infty(-1)^k(2x)^2k+12k+1

Passo 4

Para determinar o raio de convergência, exigimos |2x|<1, ou seja |x|<\tfrac12. Assim a série vale para x em (−½,½).

Passo 5

Definimos a soma parcial de ordem n como:
sn(x)=sumk=0^n(-1)^k(2x)^2k+12k+1
Para visualizar, basta plotar em um software f(x)=arctan(2x) e s_n(x) para vários n (por exemplo n=1,2,5,10) no intervalo (−0.5,0.5).

Passo 6

Observa-se que, à medida que n aumenta, as curvas de s_n(x) vão se aproximando cada vez mais de f(x) dentro do intervalo de convergência. Perto das extremidades |x|=½ a convergência desacelera e surgem pequenas oscilações, mas no interior a aproximação melhora rapidamente.

Resposta

arctan(2x)=sumk=0^infty(-1)^k(2x)^2k+12k+1,|x|
À medida que n cresce, as somas parciais s_n(x) convergem cada vez mais para f(x) no interior de (−½,½), aproximando bem a curva, embora a convergência seja mais lenta perto de |x|=½.

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