Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
A função dada é f(x)=\frac{5}{1-2x^4}. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos precisar usar a série geométrica básica, que diz que para |r|<1 vale ∑_{n=0}^∞ r^n=1/(1−r).
Passo 2
Reescrevendo a parte racional como série geométrica, com r=2x^4, obtemos a condição |2x^4|<1 e
[
\frac{1}{1-2x4}=\sum_{n=0}{\infty}(2x4)n
]
[
\frac{1}{1-2x4}=\sum_{n=0}{\infty}(2x4)n
]
Passo 3
Agora basta multiplicar a série por 5 para recuperar f(x). Assim
[
f(x)=5\cdot\sum_{n=0}{\infty}(2x4)n=\sum_{n=0}{\infty}5\cdot2^n x^{4n}
]
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f(x)=5\cdot\sum_{n=0}{\infty}(2x4)n=\sum_{n=0}{\infty}5\cdot2^n x^{4n}
]
Passo 4
Para a convergência precisamos de |2x^4|<1, ou seja |x|^4<1/2, o que dá |x|<2^{-1/4}. Nos extremos x=±2^{-1/4} temos 2x^4=1, logo os termos gerais não tendem a zero e a série diverge nesses pontos.