Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla.
integralegral duplaD(2+x^2 y^3+y^2 sen x) d Lambda, D=(x, y) | x|<=|y| <= 1

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral duplaDl(2 + x^2y^3 + y^2sin xr),dLambda,
onde
D = (x,y)mid |x|<= |y|<= 1
O conteúdo aqui é integral dupla e uso de simetria para simplificar cada termo da soma.

Passo 2

Separamos a integral em três partes:
integral duplaD2,dLambda, integral duplaDx^2y^3,dLambda, integral duplaDy^2sin x,dLambda
Começando pela parte constante, temos
integral duplaD2,dLambda = 2cdot l(área de Dr) á
Como para cada yin[-1,1] o x varia de -|y| a |y|, a área de D é
integraly=-1^1 l(2|y|r),dy =2integral0^12y,dy =2l[y^2r]0^1 =2
Logo
integral duplaD2,dLambda = 2cdot 2 = 4

Passo 3

Analisamos
integral duplaDx^2y^3,dLambda
O integrando x^2y^3 é função ímpar em y (pois troca de y por -y muda o sinal) e D é simétrico em relação ao eixo x. Portanto essa integral é zero:
integral duplaDx^2y^3,dLambda = 0

Passo 4

Finalmente, para
integral duplaDy^2sin x,dLambda,
o integrando y^2sin x é ímpar em x e D é simétrico em x para cada y. Logo essa integral também vale zero:
integral duplaDy^2sin x,dLambda = 0

Resposta

Somando os três resultados,
integral duplaDl(2 + x^2y^3 + y^2sin xr),dLambda =4 + 0 + 0 = 4

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