Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla.
Passo 1
O enunciado pede calcular
onde
O conteúdo aqui é integral dupla e uso de simetria para simplificar cada termo da soma.
Passo 2
Separamos a integral em três partes:
Começando pela parte constante, temos
Como para cada
o
varia de
a
, a área de
é
Logo
Passo 3
Analisamos
O integrando
é função ímpar em
(pois troca de
por
muda o sinal) e
é simétrico em relação ao eixo
. Portanto essa integral é zero:
Passo 4
Finalmente, para
o integrando
é ímpar em
e
é simétrico em
para cada
. Logo essa integral também vale zero:
Resposta
Somando os três resultados,