Questão 5. Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
integral arctan (t)t d t

Passo 1

Temos a integral indefinida integral arctan(t)t,dt. O assunto é séries de potências: vamos usar a expansão de Maclaurin de arctan(t) e integrar termo a termo.

Passo 2

A expansão de Maclaurin de arctan(t) é:
arctan(t) = sumn=0^infty (-1)^n t^2n+12n+1
Essa série converge para |t|<1.

Passo 3

Dividindo termo a termo por t, obtemos:
arctan(t)t = sumn=0^infty (-1)^n t^2n2n+1

Passo 4

Para integrar termo a termo, usamos que
integral t^2n,dt = t^2n+12n+1
Assim, a antiderivada (sem a constante de integração) fica
sumn=0^infty (-1)^n t^2n+1(2n+1)^2

Passo 5

O raio de convergência dessa série é o mesmo da expansão de arctan(t), ou seja, R=1.

Resposta

integral arctan(t)t,dt = sumn=0^infty(-1)^n t^2n+1(2n+1)^2 + C, R=1

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