Para quais valores de x as seguintes séries de potências convergem?
sumn=1^infty (-1)^n x^n n^22^n

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de x para os quais a série de potências
sumn=1^infty (-1)^nx^nn^22^n
converge.
O conteúdo principal é a determinação do raio e do intervalo de convergência de uma série de potências, usando o teste da razão e a análise dos extremos.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão à sequência dos coeficientes an = tfrac(-1)^n n^22^n. Calculamos
L = limntoinfty|an+1x^,n+1an x^n| = limntoinftyl|(-1)^n+1(n+1)^22^n+12^n(-1)^n n^2;xr| = limntoinfty(n+1)^2n^2,|x|2
Como tfrac(n+1)^2n^2to1, segue
L = |x|2

Passo 3

O teste da razão diz que a série converge se L<1, isto é
|x|2<1 Longrightarrow |x|<2
Portanto, o raio de convergência é R=2 e a série converge (pelo menos) para todo x em (-2,2).

Passo 4

Agora verificamos os extremos:
Para x=2, a série vira
sumn=1^infty(-1)^n2^nn^22^n =sumn=1^infty(-1)^n n^2
Como os termos gerais (-1)^n n^2 não tendem a zero, a série diverge (teste do termo).
Para x=-2, temos
sumn=1^infty(-1)^n(-2)^nn^22^n =sumn=1^inftyn^2,
pois (-1)^n(-2)^n=(2)^n. Essa soma de n^2 claramente diverge.
Logo, em x=pm2 a série diverge.

Resposta

A série converge somente para |x|<2.

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