Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=42 x+3

Passo 1

O enunciado pede uma representação em série de potências centrada em zero (Maclaurin) para
f(x)=42x+3
e o respectivo intervalo de convergência. Vamos usar a fórmula da série geométrica.

Passo 2

Reescrevemos f(x) de modo a extrair um fator constante e colocar no formato 1/(1 - t):
f(x) =42x+3 =43,11 + 23x =43,11 - l(-23xr)

Passo 3

Lembrando que para lvert trvert<1 vale
11 - t=sumn=0^inftyt^n,
podemos identificar t=-tfrac23x.

Passo 4

Fazendo a substituição, obtemos
f(x) =43sumn=0^inftyl(-tfrac23xr)^n =sumn=0^infty4,(-1)^n,2^n3^,n+1,x^n

Passo 5

O raio de convergência R vem da condição lvert trvert<1, ou seja
llvert -tfrac23xrrvert<1 Longrightarrow |x|<32

Resposta

A série de potências é
f(x)=sumn=0^infty4,(-1)^n,2^n3^,n+1,x^n
e o intervalo de convergência é
|x|<tfrac32

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