Seja F(x, y)=(3 x^2+y^2, 2 x y) e seja C a curva dada pelo semicírculo inferior x^2+y^2=4 ligando os pontos (-2,0) até (2,0).
Calcule integralC F cdot d r usando a propriedade de Independência de caminhos (substituindo C por uma curva mais simples ligando os pontos (-2,0) até (2,0)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de cálculo vetorial onde precisamos calcular uma integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva , que é o semicírculo inferior do círculo ligando os pontos até . Vamos usar a propriedade de independência de caminhos para facilitar a resolução, substituindo por uma curva mais simples entre esses pontos. Para isso, vamos precisar entender sobre campos vetoriais conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial partial F1partial y = partial F2partial x é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função potencial partial F1partial y = 2y , ou seja, partial F2partial x = 2y . Uma propriedade importante de campos conservativos em um domínio simplesmente conexo é que a integral de linha entre dois pontos depende apenas desses pontos e não do caminho escolhido.
Para verificar se é conservativo, precisamos checar se as condições de conservatividade são satisfeitas. No caso bidimensional, isso significa verificar se:
Onde e .
Calculando as derivadas parciais:
Como , o campo é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que partial phipartial x = 3x^2 + y^2 é conservativo, podemos encontrar uma função potencial partial phipartial y = 2xy tal que phi(x, y) = integral (3x^2 + y^2) , dx = x^3 + y^2 x + h(y) .
Sabemos que:
partial phipartial y = 2xy + h'(y) = 2xy
phi(x, y) = x^3 + y^2 x
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Onde é uma função de que surge da constante de integração. Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Para que isso seja válido, deve ser zero, então é uma constante. Podemos ignorar essa constante para simplificar.
Então, a função potencial é:

Passo 4

Agora que temos a função potencial phi(-2, 0) = (-2)^3 + (0)^2 cdot (-2) = -8 + 0 = -8 , podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando phi(2, 0) = (2)^3 + (0)^2 cdot 2 = 8 + 0 = 8 nos pontos finais da curva integralC F cdot dr = phi(2, 0) - phi(-2, 0) = 8 - (-8) = 16 .
Os pontos finais são e . Vamos calcular em cada ponto:
Para :
Para :
A integral de linha é a diferença das funções potenciais nos pontos finais:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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