Seja
e seja
a curva dada pelo semicírculo inferior
ligando os pontos
até
.
Calcule
usando a propriedade de Independência de caminhos (substituindo
por uma curva mais simples ligando os pontos
até
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de cálculo vetorial onde precisamos calcular uma integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
, que é o semicírculo inferior do círculo
ligando os pontos
até
. Vamos usar a propriedade de independência de caminhos para facilitar a resolução, substituindo
por uma curva mais simples entre esses pontos. Para isso, vamos precisar entender sobre campos vetoriais conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função potencial
, ou seja,
. Uma propriedade importante de campos conservativos em um domínio simplesmente conexo é que a integral de linha entre dois pontos depende apenas desses pontos e não do caminho escolhido.
Para verificar se
é conservativo, precisamos checar se as condições de conservatividade são satisfeitas. No caso bidimensional, isso significa verificar se:
Onde
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que
é conservativo, podemos encontrar uma função potencial
tal que
.
Sabemos que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Onde
é uma função de
que surge da constante de integração. Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Para que isso seja válido,
deve ser zero, então
é uma constante. Podemos ignorar essa constante para simplificar.
Então, a função potencial é:
Passo 4
Agora que temos a função potencial
, podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando
nos pontos finais da curva
.
Os pontos finais são
e
. Vamos calcular
em cada ponto:
Para
:
Para
:
A integral de linha é a diferença das funções potenciais nos pontos finais:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.