Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência f(x)=x^22^3-x^3.

Passo 1

Estamos querendo desenvolver em série de potências a função f(x)=x^22^3 - x^3=x^28 - x^3. O conteúdo principal é usar a expansão em série geométrica e determinar o raio (intervalo) de convergência.

Passo 2

Reescrevemos f(x) numa forma que lembre 1/(1-r). Note que
8 - x^3 = 8l(1 - tfracx^38r),
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f(x) = x^28cdot 11 - tfracx^38

Passo 3

Aplicamos a fórmula da série geométrica
11 - r = sumn=0^infty r^n, |r|<1
Aqui temos r = tfracx^38, então
11 - tfracx^38 = sumn=0^infty l(tfracx^38r)^n

Passo 4

Multiplicando por x^2/8, a série de potências de f(x) fica
f(x) = x^28 sumn=0^infty x^3n8^n = sumn=0^infty x^3n+28^n+1

Passo 5

Para achar o intervalo de convergência, usamos o teste da razão no termo geral
an = x^3n+28^n+1
Calculando
limntoinftyl|an+1anr| = limntoinfty|x|^3(n+1)+2/8^n+2|x|^3n+2/8^n+1 = |x|^38
Para convergir, é preciso |x|^3/8 < 1, ou seja |x|<2.

Passo 6

Verificamos os extremos: em x=2 o denominador 8-8=0 anula a função, e em x=-2 o parâmetro r=-1 não satisfaz a condição |r|<1. Então a convergência é apenas para -2 < x < 2.

Resposta

A série de potências é
f(x)=sumn=0^inftyx^3n+28^n+1,
com intervalo de convergência |x|<2.

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