Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência .
Passo 1
Estamos querendo desenvolver em série de potências a função . O conteúdo principal é usar a expansão em série geométrica e determinar o raio (intervalo) de convergência.
Passo 2
Reescrevemos numa forma que lembre . Note que
logo
Passo 3
Aplicamos a fórmula da série geométrica
Aqui temos , então
Passo 4
Multiplicando por , a série de potências de fica
Passo 5
Para achar o intervalo de convergência, usamos o teste da razão no termo geral
Calculando
Para convergir, é preciso |x|^3/8 < 1, ou seja |x|<2.
Passo 6
Verificamos os extremos: em x=2 o denominador 8-8=0 anula a função, e em x=-2 o parâmetro r=-1 não satisfaz a condição |r|<1. Então a convergência é apenas para -2 < x < 2.
Resposta
A série de potências é
f(x)=sumn=0^inftyx^3n+28^n+1,
com intervalo de convergência |x|<2.