Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência:
Dica:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma representação em série de potências centrada em zero para
e determinar o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar o desenvolvimento em série de Taylor de
e depois multiplicar por
.
Passo 2
Lembramos que, para
, vale a expansão em série
Essa fórmula vem da integração termo a termo da série geométrica
.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
, obtendo
Para escrever em forma padrão de série de potências
, fazemos a mudança de índice
. Assim, quando
temos
, e
Passo 4
A série original de
tem raio de convergência
, então a série de
também converge para
.
Para verificar os extremos:
Para verificar os extremos:
- Em
a função diverge, logo a série não converge. - Em
a série torna-se alternada que é convergente pelo critério de Leibniz.
Portanto o intervalo de convergência é