Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência:
f(x)=x \ln (1-x) Dica: \frac{d}{d x} \ln (1-x)=\frac{-1}{1-x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma representação em série de potências centrada em zero para
f(x)=x\ln(1-x)
e determinar o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar o desenvolvimento em série de Taylor de \ln(1-x) e depois multiplicar por x.

Passo 2

Lembramos que, para \lvert x\rvert<1, vale a expansão em série
\ln(1-x)=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k}.
Essa fórmula vem da integração termo a termo da série geométrica \sum_{k=0}^\infty x^k=1/(1-x).

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x, obtendo
x\ln(1-x)=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k+1}}{k}.
Para escrever em forma padrão de série de potências \sum_{n=0}^\infty a_n x^n, fazemos a mudança de índice n=k+1. Assim, quando k=1 temos n=2, e
x\ln(1-x)=-\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{\,n-1\,}.

Passo 4

A série original de \ln(1-x) tem raio de convergência R=1, então a série de f(x) também converge para \lvert x\rvert<1.
Para verificar os extremos:
  • Em x=1 a função \ln(1-x) diverge, logo a série não converge.
  • Em x=-1 a série torna-se alternada -\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k}=-\ln 2,que é convergente pelo critério de Leibniz.
Portanto o intervalo de convergência é
-1 \le x < 1.

Resposta

f(x)=x\ln(1-x)=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k+1}}{k} =-\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{\,n-1\,}, \quad\text{com intervalo de convergência }-1\le x<1.ê

Exercícios relacionados