Investigue a convergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{5 n} \quad

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{5\,n}\,.
O conteúdo aqui é o teste da divergência (condição necessária de convergência): se o termo geral não tender a zero, a série necessariamente diverge.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento do termo geral
a_{n} = \frac{n^{2}+1}{5\,n} = \frac{n^{2}}{5\,n} + \frac{1}{5\,n} = \frac{n}{5} + \frac{1}{5\,n}\,.
Calculemos o limite \lim_{n\to\infty}a_{n}.

Passo 3

Como
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{5} = +\infty \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{5\,n} = 0,
temos
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n}{5} + \frac{1}{5\,n}\Bigr) = +\infty \neq 0.
Pelo teste da divergência, como o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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