Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência:
Dica:
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de potências de
e o seu intervalo de convergência. Vamos usar séries geométricas e diferenciação sucessiva, conforme as dicas:
e
.
Passo 2
Lembrando a série geométrica, para
vale
Passo 3
Derivando em relação a
e aplicando o sinal da dica, obtemos
Reindexando (
), isso fica
Passo 4
Agora usamos a segunda dica para chegar em
:
Derivando termo a termo:
onde fizemos
.
Passo 5
Multiplicando por
para obter
:
Reindexando
(
, começa em
):
pois
.
Passo 6
O raio de convergência permanece o mesmo da série geométrica original, ou seja
. Testes nos limites
falham (não há convergência absoluta nem condicional), então o intervalo de convergência é