Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência:
f(x)=\frac{x^{2}}{(1+x)^{3}} Dica: \frac{1}{(1+x)^{3}}=-\frac{1}{2} \frac{d}{d x}\left[\frac{1}{(1+x)^{2}}\right] e \frac{1}{(1+x)^{2}}=-\frac{d}{d x}\left[\frac{1}{1+x}\right]

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências de
f(x)=\frac{x^{2}}{(1+x)^{3}}
e o seu intervalo de convergência. Vamos usar séries geométricas e diferenciação sucessiva, conforme as dicas:
\displaystyle \frac{1}{(1+x)^{2}}=-\frac{d}{dx}\Bigl[\frac{1}{1+x}\Bigr] e
\displaystyle \frac{1}{(1+x)^{3}}=-\tfrac12\frac{d}{dx}\Bigl[\frac{1}{(1+x)^{2}}\Bigr].

Passo 2

Lembrando a série geométrica, para |x|<1 vale
\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}.

Passo 3

Derivando em relação a x e aplicando o sinal da dica, obtemos
\frac{1}{(1+x)^{2}} =-\frac{d}{dx}\Bigl[\frac{1}{1+x}\Bigr] =-\frac{d}{dx}\Bigl[\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}\Bigr] =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(n)\,x^{n-1}.
Reindexando ( k=n-1), isso fica
\frac{1}{(1+x)^{2}} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{\,k+1}(k+1)\,x^{k} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(k+1)\,x^{k}.

Passo 4

Agora usamos a segunda dica para chegar em \tfrac1{(1+x)^{3}}:
\frac{1}{(1+x)^{3}} =-\tfrac12\frac{d}{dx}\Bigl[\frac{1}{(1+x)^{2}}\Bigr] =-\tfrac12\frac{d}{dx}\Bigl[\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(k+1)x^{k}\Bigr].
Derivando termo a termo:
\frac{1}{(1+x)^{3}} =-\tfrac12\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}(k+1)k\,x^{\,k-1} =\tfrac12\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}(m+2)(m+1)\,x^{m},
onde fizemos m=k-1.

Passo 5

Multiplicando por x^{2} para obter f(x):
f(x)=x^{2}\,\frac{1}{(1+x)^{3}} =\tfrac12\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}(m+2)(m+1)\,x^{m+2}.
Reindexando n=m+2 ( m=n-2, começa em n=2):
f(x)=\tfrac12\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{\,n-2}\,n(n-1)\,x^{n} =\tfrac12\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\,n(n-1)\,x^{n},
pois (-1)^{n-2}=(-1)^{n}.

Passo 6

O raio de convergência permanece o mesmo da série geométrica original, ou seja R=1. Testes nos limites x=\pm1 falham (não há convergência absoluta nem condicional), então o intervalo de convergência é
-1<x<1.

Resposta

\boxed{f(x)=\frac{x^{2}}{(1+x)^{3}} =\tfrac12\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\,n(n-1)\,x^{n},\quad |x|<1.}

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