Encontre uma representaçảo em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{4}{2 x+3}

Passo 1

O enunciado pede uma série de potências (em torno de zero) para
f(x)=\frac{4}{2x+3}
e o intervalo de convergência. O conteúdo usado será a série geométrica
\frac{1}{1 - t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n,\quad |t|<1.

Passo 2

Reescrevemos f(x) numa forma que permita aplicar a série geométrica. Note que
2x+3 = 3\Bigl(1 + \frac{2x}{3}\Bigr),
logo
f(x)=\frac{4}{2x+3} = \frac{4}{3}\,\frac{1}{1 + \frac{2x}{3}} = \frac{4}{3}\,\frac{1}{1 - \bigl(-\tfrac{2x}{3}\bigr)}.

Passo 3

Aplicando a série geométrica com t = -\tfrac{2x}{3}, temos
\frac{1}{1 - \bigl(-\tfrac{2x}{3}\bigr)} = \sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{2x}{3}\Bigr)^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{n}}{3^{n}}\,x^{n}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{4}{3}, obtemos
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4}{3}\,(-1)^{n}\frac{2^{n}}{3^{n}}\,x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{4\cdot2^{n}(-1)^{n}}{3^{\,n+1}}\,x^{n}.

Passo 4

A condição de convergência da série geométrica é \bigl|-\tfrac{2x}{3}\bigr|<1, ou seja
|x|<\frac{3}{2}.

Resposta

\boxed{ f(x)=\frac{4}{2x+3} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4\cdot2^{n}(-1)^{n}}{3^{\,n+1}}\,x^{n}, \quad |x|<\frac{3}{2}. }

Exercícios relacionados